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Die lokal gleichmäßige Konvergenz ist ein mathematischer Begriff, der eine bestimmte Konvergenzart von Funktionenfolgen beschreibt und den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz abschwächt. Dieser mit der kompakten Konvergenz eng verwandte Begriff spielt eine wichtige Rolle in der Analysis, da er Eigenschaften wie Stetigkeit oder Holomorphie erhält.

BegriffsbildungBearbeiten

Es sei   eine Folge von Funktionen   auf einem topologischen Raum   sowie eine weitere Funktion  . Man sagt, die Folge   konvergiere lokal gleichmäßig gegen  , wenn es zu jedem Punkt   eine offene Umgebung   von   gibt, so dass  , das heißt, wenn die Einschränkungen der   auf   dort gleichmäßig gegen die Einschränkung von   auf   konvergieren.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine erste naheliegende Verallgemeinerung erhält man dadurch, dass man den Zielraum   durch einen normierten Raum und den Betrag auf   durch die zugehörige Norm ersetzt. Insbesondere gilt dies für den normierten Raum   mit dem Absolutbetrag als Norm. Damit erhält man den für die Funktionentheorie wichtigen Begriff der lokal gleichmäßigen Konvergenz komplexwertiger Funktionen.

Im nächsten Schritt ersetzt man die Norm durch eine Menge von Halbnormen und fordert   für jede dieser Halbnormen  , wobei die Umgebung   auch von   abhängen darf. Damit kann man die lokal gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen   mit Werten in einem lokalkonvexen Raum betrachten. Schließlich benötigt man keine Halbnormen auf dem Zielraum; es genügen Halbmetriken, das heißt man ersetzt den Ausdruck   durch  , wobei   ein System von Halbmetriken durchläuft. Damit kommt als allgemeiner Zielraum ein beliebiger uniformer Raum in Frage.

Schließlich kann man noch die Folge   durch ein Netz   ersetzen und erhält so:

Seien   ein topologischer Raum,   ein uniformer Raum, dessen Uniformität durch ein System   von Halbmetriken gegeben ist,   ein Netz von Funktionen   und   eine Funktion.   konvergiert lokal gleichmäßig gegen  , wenn es zu jeder Halbmetrik   und jedem Punkt   eine offene Umgebung   gibt, so dass  .

Wichtige AnwendungenBearbeiten

Folgen stetiger FunktionenBearbeiten

  • Grenzwerte von lokal gleichmäßig konvergenten Folgen stetiger Funktionen sind wieder stetig.

Dieser Satz ist allgemeiner als der entsprechende Satz über gleichmäßige Konvergenz, zum Beispiel konvergiert   lokal gleichmäßig, aber nicht gleichmäßig.

Folgen holomorpher FunktionenBearbeiten

Dieser Satz ist in der Funktionentheorie von Bedeutung. Man beachte, dass ein entsprechender Satz in der reellen Theorie, das heißt für beliebig oft differenzierbare Funktionen, falsch ist.

Vergleich mit der kompakten KonvergenzBearbeiten

Aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt die kompakte Konvergenz. Ist nämlich   eine Folge von Funktionen  , die lokal gleichmäßig gegen   konvergiert, und ist   kompakt, so gibt es zu jedem   eine offene Umgebung  , so dass auf dieser Umgebung gleichmäßige Konvergenz vorliegt. Da   kompakt ist, kann man   bereits durch endlich viele dieser   überdecken, und es folgt   und damit die behauptete kompakte Konvergenz. (Der Beweis für Netze von Funktionen mit Werten in uniformen Räumen kann genauso geführt werden.)

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wohl aber in lokalkompakten Räumen, denn in diesen hat jeder Punkt definitionsgemäß eine Umgebung, deren Abschluss kompakt ist.

Da weite Teile der Analysis und Funktionentheorie auf lokalkompakten Räumen stattfinden und dort lokal gleichmäßige Konvergenz und kompakte Konvergenz zusammenfallen, wird nicht immer sauber zwischen beiden Konvergenzbegriffen unterschieden. Es sei daher angemerkt, dass der oben zitierte Satz über lokal gleichmäßige Grenzwerte stetiger Funktionen für die kompakte Konvergenz im Allgemeinen falsch ist, wie ein Beispiel auf dem Arens-Fort-Raum zeigt (siehe dort).

QuellenBearbeiten

  • Hans Grauert, Wolfgang Fischer: Differential- und Integralrechnung II, Springer Berlin Heidelberg New York (1978), ISBN 3-540-08697-8
  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie, Friedr Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH (1980), ISBN 3-528-07247-4