Arens-Fort-Raum

Der Arens-Fort-Raum, benannt nach den Mathematikern R. F. Arens und M. K. Fort, ist ein speziell konstruiertes Beispiel eines topologischen Raumes, der auf Grund seiner Eigenschaften oft als Gegenbeispiel verwendet wird.

DefinitionBearbeiten

 
Typische Nullumgebung, nur die Spalten 2,3 und 5 enthalten nicht fast alle Punkte.

Die zugrunde liegende Menge ist  , also die Menge aller Paare   natürlicher Zahlen  . Die Teilmenge   heißt  -te Spalte. Die Menge   wird zu einem topologischen Raum, dem Arens-Fort-Raum, indem die folgenden Mengen als offen erklärt werden:

  • Jede Menge in  , die den Nullpunkt  nicht enthält.
  • Jede Menge, die den Nullpunkt und alle bis auf endlich viele Punkte in allen außer endlich vielen Spalten enthält.

Topologische EigenschaftenBearbeiten

Fehlende EigenschaftenBearbeiten

  • Der Arens-Fort-Raum genügt weder dem ersten noch dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  • Der Arens-Fort-Raum ist nicht metrisierbar.
  • Der Arens-Fort-Raum ist nicht kompakt.

GegenbeispieleBearbeiten

  • In metrischen Räumen folgt aus der Separabilität das zweite Abzählbarkeitsaxiom. Der Arens-Fort-Raum zeigt, dass dies im Allgemeinen nicht gilt, denn er ist separabel (er besteht selbst nur aus abzählbar vielen Punkten), genügt aber nach Obigem nicht dem zweiten Abzählbarkeitsaxiom.
  • Zählt man die Punkte aus   wie bei Cantors erstem Diagonalargument ab, so erhält man eine Folge  , die immer wieder Folgenglieder in jeder Spalte und damit in jeder Nullumgebung hat.
 
  ist einziger Häufungspunkt dieser Folge, aber keine Teilfolge dieser Folge konvergiert gegen  .
 
und
 
definierten Funktionen  , so konvergiert die Funktionenfolge   punktweise gegen  . Da genau die endlichen Mengen kompakt sind, liegt sogar kompakte Konvergenz vor. Jede Funktion   ist stetig, denn sie ist auf der Nullumgebung   konstant gleich 0, aber die Grenzfunktion   ist unstetig, da sie in jeder Nullumgebung den Wert 1 annimmt. Insbesondere liegt keine lokal gleichmäßige Konvergenz vor, denn sonst müsste die Grenzfunktion stetig sein.

LiteraturBearbeiten