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Dirichletreihen, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sind Reihen, die in der analytischen Zahlentheorie verwendet werden, um zahlentheoretische Funktionen mit Methoden aus der Analysis, insbesondere der Funktionentheorie, zu untersuchen. Viele offene zahlentheoretische Fragestellungen sind durch diesen Zusammenhang einer „Näherungslösung“ (durch Abschätzungen) zugänglich geworden, etwa Fragen nach der Verteilung von Primzahlen.

Konvergente Dirichletreihen sind als analytische Funktionen auch losgelöst von zahlentheoretischen Problemen als Untersuchungsgegenstand interessant, da sie in engem Zusammenhang mit Potenzreihen stehen und eine ähnlich „natürliche“ Darstellung von analytischen Funktionen erlauben.

Definition und formale EigenschaftenBearbeiten

Eine Dirichletreihe ist eine Reihe der Form

 
mit  

Diese Reihe konvergiert absolut für gewisse Koeffizientenfolgen   und komplexe Zahlen  . Das Produkt von zwei solchen absolut konvergenten Dirichletreihen ist wieder eine absolut konvergente Dirichletreihe, die Koeffizienten ergeben sich durch Faltung der Koeffizientenfolgen als zahlentheoretische Funktionen. Damit entspricht die Multiplikation von absolut konvergenten Dirichletreihen der Faltung ihrer Koeffizienten.

Gelegentlich findet man in der Literatur (etwa bei Zagier) auch die allgemeinere Definition

  mit  

Mit   ergibt dies wieder die erste Definition, mit   erhält man

  mit  ,

also eine gewöhnliche Potenzreihe.

Der Raum der formalen Dirichletreihen wird mit einer Multiplikation versehen, indem man die für absolut konvergente Reihen gültige Multiplikationsregel auf beliebige (auch nichtkonvergente) Dirichletreihen überträgt (zu dieser Konstruktion vergleiche auch die analoge Begriffsbildung formale Potenzreihe).

Dadurch wird der Raum der formalen Dirichletreihen mit der punktweisen Addition, der Skalarmultiplikation und der Faltung isomorph (als Ring und Algebra) zu den zahlentheoretischen Funktionen und erbt alle Struktureigenschaften dieses Raumes.

Der Isomorphismus ordnet jeder zahlentheoretischen Funktion   die formale Dirichletreihe zu, deren Koeffizientenfolge sie ist. Diese Dirichletreihe   heißt dann die von   erzeugte Dirichletreihe.

Konvergente DirichletreihenBearbeiten

Zu jeder Dirichletreihe, die irgendwo aber nicht überall konvergiert, existiert eine reelle Zahl  , so dass die Reihe in der Halbebene   konvergiert (  ist der Realteil von  ) und in der Halbebene   divergiert. Über das Verhalten auf der Geraden   lässt sich keine allgemeine Aussage machen. Falls die Dirichletreihe überall bzw. nirgends konvergiert, wird   bzw.   gesetzt und man nennt in allen Fällen   die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe.

Ähnlich, wie man im Falle von Potenzreihen den Konvergenzradius berechnen kann, kann man auch im Falle von Dirichletreihen die Konvergenzabszisse mit einem Limes superior aus ihrer Koeffizientenfolge bestimmen, es gilt:

Ist   divergent, so ist

 .

Ist hingegen   konvergent, so ist

 .

Analytische EigenschaftenBearbeiten

In ihrer Konvergenzhalbebene   ist die Dirichletreihe kompakt konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion   dar.

Die Ableitungen der so bestimmten holomorphen Funktion   können durch gliedweise Differentiation gewonnen werden. Ihre  -te Ableitung ist die Dirichletreihe

 .

EulerprodukteBearbeiten

Dirichletreihen mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen als Koeffizienten lassen sich als Eulerprodukt darstellen. Ist   eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und konvergiert die von ihr erzeugte Dirichletreihe F(s) für die komplexe Zahl s absolut, dann gilt

 .

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion vereinfacht sich dieses Produkt zu

 .

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Eulerprodukte. Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert   der Folge endlicher Produkte  , die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Wichtige DirichletreihenBearbeiten

Riemannsche ζ-FunktionBearbeiten

Die berühmteste Dirichletreihe ist die Riemannsche ζ-Funktion:

 .

Sie wird von der zahlentheoretischen 1-Funktion   (mit   für alle  ) erzeugt. Da diese Funktion vollständig multiplikativ ist, hat die Zeta-Funktion die Eulerproduktdarstellung

 

Dirichletreihe der TeilerfunktionBearbeiten

Die Teilerfunktion (auch genauer Teileranzahlfunktion)  , die einer natürlichen Zahl   die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet, ist das „Faltungsquadrat“ der 1-Funktion.

 ,

die ihr zugeordnete Dirichletreihe ist also das Quadrat der Zetafunktion:

 .

Dirichletreihe der MöbiusfunktionBearbeiten

Die Möbiusfunktion   ist multiplikativ mit   für  . Also hat die von ihr erzeugte Dirichletreihe   das Eulerprodukt

 .

Die Relation   überträgt sich auf die zugehörigen zahlentheoretischen Funktionen und bedeutet dort:

 .

Dirichletsche L-ReihenBearbeiten

Die ebenfalls von Dirichlet eingeführten L-Reihen

 

werden von einem Dirichlet-Charakter   erzeugt. Diese Reihen spielen eine wichtige Rolle beim Beweis des Dirichletschen Satzes über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Da Dirichletcharaktere vollständig multiplikativ sind, kann man die L-Reihen als Eulerprodukte darstellen

 

und für  , den Hauptcharakter modulo k gilt:

 

Die L-Reihen verallgemeinern die Riemannsche Zetafunktion. → Über die Nullstellen von L-Reihen gibt es die bis heute unbewiesene verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.

Hecke gab eine Verallgemeinerung an mit Größencharakteren statt Dirichlet-Charakteren (auch Hecke L-Reihe genannt, siehe aber unten für eine weitere Definition).

Dirichletreihe der Mangoldt-FunktionBearbeiten

Die von Mangoldtsche Funktion   spielt eine Rolle beim Beweis des Primzahlsatzes. Diese zahlentheoretische Funktion ist definiert als

 ,

die von ihr erzeugte Dirichletreihe lässt sich durch die Zeta-Funktion ausdrücken:

 .

Dirichletsche Lambda-Funktion Bearbeiten

Die Dirichletsche Lambda-Funktion ist die L-Reihe, die durch

  definiert wird.

Sie lässt sich durch die Riemannsche Zeta-Funktion darstellen als

 

Sie kann in geschlossener Form an den Stellen berechnet werden, an denen dies für die Zeta-Funktion möglich ist, das heißt für gerade positive Zahlen   Es besteht folgender Zusammenhang mit der Dirichletschen Eta-Funktion:

 

Dirichletreihe der Eulerschen φ-FunktionBearbeiten

Die Eulersche φ-Funktion ist multiplikativ mit

  für  .

Das Eulerprodukt der von ihr erzeugten Dirichletreihe ist

 .

Dirichletreihe der verallgemeinerten TeilersummenfunktionBearbeiten

Die verallgemeinerte Teilersummenfunktion   ist multiplikativ und für Primzahlpotenzen ist

 .

Daher hat die Dirichletreihe von   die Eulerproduktdarstellung:

 

Dirichletreihen und ModulformenBearbeiten

Erich Hecke fand einen Zusammenhang (Hecke-Korrespondenz) von Dirichletreihen, die bestimmte Eulerprodukt- und Funktionalgleichungen erfüllen, und Modulformen, siehe Hecke-Operator. Die von ihm definierten Hecke L-Reihen werden mit den Fourierkoeffizienten der Modulformen gebildet. Diese sind aber zu unterscheiden von den mit Größencharakteren nach Hecke ähnlich Dirichlet-L-Reihen gebildeten Dirichletreihen, die auch Hecke L-Reihen genannt werden.

FaltungBearbeiten

Die Faltung   zweier zahlentheoretischer Funktionen induziert einen formalen Ringhomomorphismus vom Ring der zahlentheoretischen Funktionen in den Ring der formalen Dirichlet-Reihen via

 

wobei   die zu   gehörigen Dirichlet-Reihen bezeichnen.

BeispielBearbeiten

Man findet beispielsweise die Relation:

 

wobei   die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl   besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

 

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als   bezeichnet wird. Der Summenindex wird als   gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von   über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare   gewinnen kann, für die   gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von   darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl   besitzt.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten