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Riemannsche ζ-Funktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Riemannsche Zetafunktion)
Die riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, so genannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die so genannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8, …
Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte.

Die riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine zentrale Rolle spielt. Ihre entscheidende Bedeutung erlangt die riemannsche ζ-Funktion durch den Zusammenhang zwischen der Lage ihrer komplexen Nullstellen und der Verteilung der Primzahlen. Die genaue Lage dieser Nullstellen ist Gegenstand der riemannschen Vermutung, eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Ausgehend von einer Definition als Dirichlet-Reihe findet die riemannsche ζ-Funktion in zahlreichen mathematischen Disziplinen Anwendung:

Erstmals untersucht wurde die Zeta-Funktion im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der bedeutende Aussagen bezüglich ihrer fundamentalen Eigenschaften treffen konnte. In der Zeit danach folgten viele weitere Entdeckungen, die bedeutendsten unter ihnen von Riemann im Jahr 1859, der den tiefgründigen Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen erheblich erweiterte. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey. Wegen der überragenden Bedeutung der riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der riemannschen ζ-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung ohne mathematisches VorwissenBearbeiten

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen 1, 2, 3, 4 ... beschäftigt, stehen die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, .... Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste 2, 3, 5, 7, 11, ... niemals enden wird.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel ist   und  . Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eines der größten mathematischen Rätsel.

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz 2, 3, 5, 7, ... unerreichbar fern ist kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Zum Vergleich stelle man sich vor, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich Konsum- und Wahlverhalten) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unter einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2,3,5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 sind es schon 15 kleinere Primzahlen, sie sind gegeben durch

 

Ende des 19. Jahrhunderts konnte ein verblüffend einfaches (allerdings grobes) Beschreibungsmuster für das quantitative Verhalten der Primzahlen unter einer Größe bewiesen werden. Dieses wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß vermutet. Aus diesem lässt sich aus einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, schätzen. Das Muster wird relativ betrachtet immer genauer, je größer die obere Schranke gewählt wird. Beispielsweise liefert es für den Wert 50 die Prognose 18 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben). Weiter sagt es rund 1246 Primzahlen unter der Zahl 10.000 voraus - tatsächlich sind es 1229.

Das entscheidende Werkzeug zum Beweis dieses schätzungsweise richtigen Musters ist die riemannsche Zeta-Funktion. Das besondere an dieser Funktion ist, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Interessanterweise erhöht sich mit dem Wissen um die Zeta-Funktion auch unser Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden. Die Nullstellen der Zeta-Funktion implizieren zudem einen Korrekturterm oberen Musters, der es in einen exakten Ausdruck umwandelt. Jedoch sind praktische Berechnungen mit dieser Formel numerisch nicht sinnvoll.

Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch Anwendung. So kommen beispielsweise bei diversen Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.

GeschichteBearbeiten

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Dies liegt zum einen daran, dass in der Zeit davor die notwendigen mathematischen Methoden noch nicht ausgereift waren. Die Zeta-Funktion besaß zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer sehr simpel wirkenden Struktur nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

 
Leonhard Euler, 1735

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler. Seit Beginn des 18. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

 

zu bestimmen. Leonhard Euler, der im Jahre 1735 dieses schwierige Basler Problem mit Hilfe eigener neuartiger Techniken löste[1], untersuchte anschließend den verallgemeinerten Ausdruck

 

(Euler verwendete das „reelle  “, die Schreibweise mit komplexer Variablen   wurde erst über Riemann populär) in der Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen über diese Reihe treffen zu können. Da die Methoden der komplexen Analysis Euler zu seinen Lebzeiten weitestgehend noch nicht bekannt waren, war er auch noch nicht im Stande, das Problem der Primzahlen in der Weise anzugehen wie später Riemann. Jedoch gelangen ihm einige wichtige Aussagen.

 
Bernhard Riemann, 1863

So fand er zum Beispiel die Lösung des Basler Problems und die allgemeine Formel

 

(Euler selbst verwendete noch nicht das   als Funktionssymbol) und berechnete neben   per Hand[2] den Wert

 

Auch entdeckte Euler das nach ihm benannte Euler-Produkt

 

und konnte mit seiner Hilfe die Divergenz der Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen

 

nachweisen.[3] Diese Tatsache war für ihn ein Indikator dafür, dass Primzahlen wesentlich dichter liegen müssten als Quadratzahlen, da er im Basler Problem ja gezeigt hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein.

 
Die erste Seite von Bernhard Riemanns Artikel über Primzahlen

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Riemann, der selbst ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zu dem Primzahl-Rätsel gelungen. In ihr führte er auch zum ersten Mal das griechische   (Zeta) als Funktionssymbol ein. In seiner Arbeit formulierte er außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Daher beschäftigte sich Riemann ebenfalls mit der numerischen Berechnung seiner Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Seine Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen.[4]

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker S. Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

 

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Als Ramanujan jedoch den britischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy in Cambridge brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts   bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse.[5]

DefinitionBearbeiten

 
Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich, in dem die Reihe divergiert, ist grau dargestellt. Das untere Bild zeigt die analytisch fortgesetzte Zeta-Funktion.
 
Im Vergleich: die analytische Fortsetzung. Ihre Werte stimmen innerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene exakt mit denen der Dirichlet-Reihe überein. Jedoch besitzt sie generell Werte für alle   mit  .

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.

Für komplexe Zahlen  , deren Realteil   größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

 

Wie man leicht über das Integralkriterium für unendliche Reihen beweist, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch ungültig. In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die  -Funktion an der Stelle   über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

 

und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.

Die Dirichlet-Reihe wird aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen mit Ausnahme der Zahl   möglich. Damit können schließlich auch scheinbar unendlich großen Werten wie   einen Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel  .

Euler-ProduktBearbeiten

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, welches für alle   mit   gültig ist:

 

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe   gebildet über den Wert   dar, während sich das gesamte Produkt über alle Primzahlen   erstreckt. Das Euler-Produkt ist deshalb so erstaunlich, da Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Jedoch stellt es eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar. In der Tat, lässt sich das Euler-Produkt als analytische Version des Gesetzes der eindeutigen Primfaktorzerlegung interpretieren.

Zum Beweis betrachtet man für eine Schranke   zunächst

 

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

 

für alle Primzahlen  . Dann gilt aber auch

 

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle   summiert wird, deren Primteiler sämtlich   sind. Daraus folgt:

 

und mit   und   folgt die Behauptung.

Aus der unbedingten Konvergenz des Euler-Produktes folgt unmittelbar, dass   auf der Halbebene   keine Nullstellen besitzt. Ferner gilt dort die Identität

 

woraus Riemann schließlich den für alle   gültigen, zahlentheoretisch sehr wichtigen Ausdruck

 

hervorbringen konnte. Hierbei bezeichnet   die Primzahlfunktion, welche zählt, wie viele Primzahlen kleiner als   sind. Die Summe auf der linken Seite liefert für jede Primzahlpotenz   jeweils den Beitrag  , kann also mit   identifiziert werden.

Analytische FortsetzungBearbeiten

Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet   durch die Reihe   definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem größeren Gebiet   holomorphe Funktion, welche auf ganz   mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets eindeutig bestimmt.

Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe   nicht schwierig, eine solche zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene  , mittels der Beobachtung[6]

 

Die Reihe zur rechten konvergiert nachweislich in besagter erweiterten Halbebene und wird in der Literatur auch manchmal als dirichletsche Eta-Funktion   bezeichnet. Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, welche jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine 1930 von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz   definierte Reihenidentität

 

Diese wurde von Helmut Hasse bewiesen. Es ist zu beachten, dass die anderen Singularitäten   mit   sämtlich hebbar sind.

FunktionalgleichungBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet   die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz   gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

 

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

 

für alle   hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

 

in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation   entsteht.[7][8]

Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate nach sich. So bietet sie beispielsweise wertvolle Erkenntnisse über die Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion, die in direktem Zusammenhang zu den Primzahlen stehen.

Alternativ zu der obigen Funktionalgleichung definierte Riemann in seiner Arbeit die Funktion

 

für die

 

gilt. Sie wird auch als riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.[9]

Ein Herleitungsansatz für die Funktionalgleichung befindet sich im Abschnitt Beziehung zur Thetafunktion.

EigenschaftenBearbeiten

Meromorphie, Singularitäten und Laurent-ReiheBearbeiten

Die  -Funktion ist eine in ganz   holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer   komplex differenzierbar ist.

Ihre   -te Ableitung besitzt für Argumente   mit Realteil größer als 1 die Darstellung:

 

An der Stelle   besitzt sie, aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe, einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, das heißt, es gilt:

 

Also ist sie eine in ganz   meromorphe Funktion. Insbesondere kann sie um   in eine Laurent-Reihe mit Konvergenzradius   entwickelt werden, diese hat die Form

 

Bei den Koeffizienten

 

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante ist,[10] für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

 

ergibt.

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für unbegrenzt größer werdende Realteile hat die Zeta-Funktion ein leicht zu bestimmendes asymptotisches Verhalten, es gilt

 

Dies folgt unmittelbar aus der gleichmäßigen Konvergenz der Dirichlet-Reihe in den Bereichen   und Vertauschung von Limes und Summation:

 

Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Wachstumsgesetze entlang der vertikalen imaginären Achse sind, falls vorhanden, deutlich schwerer zu sondieren. Jedoch sind einige Abschätzungen bekannt. Mit Hilfe des Phragmen-Lindelöf Prinzips zeigt man

 

für feste Werte   und alle  . Dabei ist   eine positive Konstante. Diese Abschätzung kann jedoch vermutlich weiter verbessert werden. Setzt man zu diesem Zweck

 

so wird zum Beispiel vermutet, dass   ist. Diese lindelöfsche Vermutung folgt aus der Richtigkeit der riemannschen Vermutung, ist aber bis heute unbewiesen.

Spiegelung konjugierter ArgumenteBearbeiten

Hinweis: Diese ist keine nur für die Zeta-Funktion spezifische Eigenschaft, spielt aber bezüglich der Verteilung der Nullstellen eine wichtige Rolle, weshalb sie trotzdem ausführlicher erwähnt wird.

Zu einer komplexen Zahl   definiert man ihre Konjugation über  . Es gilt nun für alle  :

 

Das bedeutet: Wenn für ein reelles Zahlenpaar   mit  

 

mit   gilt, so gilt gleichzeitig

 

Das sieht man unmittelbar mit   - im Falle der analytischen Fortsetzung ist dies mit der Reihentransformation weiterhin erfüllt. Ist nun   eine Nullstelle, so gilt insbesondere

 

weshalb   ebenfalls Nullstelle ist.

Charakterisierung durch HamburgerBearbeiten

Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.

Es sei  , wobei   eine ganze Funktion endlicher Ordnung und   ein Polynom ist, für   durch die Dirichlet-Reihe   darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung

 

wobei   ebenfalls auf der Halbebene   als Dirichlet-Reihe   darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität  .[11]

 
Jede auf dem kritischen Streifen   definierte und in einem Gebiet   nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert.
 
Die Zeta-Funktion verhält sich im kritischen Streifen sehr chaotisch. Hier ein Ausschnitt für 1/2 < Re(s) < 1; 103 < Im(s) < 109.

Universalitätssatz von WoroninBearbeiten

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die riemannsche  -Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: sei   eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge des Streifens  .

Sei   nun eine in ganz   holomorphe Funktion, die außerdem für kein   verschwinde. Es existiert dann für jedes   ein  , sodass

 

für alle  . Wenn es nun kein   gibt, derart dass   ist, die Approximation also nicht perfekt möglich ist und trotzdem immer besser werden soll, indem   immer kleiner wird, muss   immer größer werden. Dabei kann   nicht den Limes   haben, sondern höchstens ein Häufungspunkt sein.

Es gilt sogar noch mehr: die Dichte aller  , die eine Approximation erfüllen, ist positiv, wie folgende Ungleichung

 

beweist. Hier ist   das Standard-Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.

Mellin-Transformation - die Verbindung zur Gamma-FunktionBearbeiten

Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die sogenannte Mellin-Transformation. Dabei wird die Zeta-Funktion über ein unendliches Integral ausgedrückt.

Grundlage dieser Darstellung ist das eulersche Integral für die Gamma-Funktion

 

aus welchem nach der Substitution   mit   und Division durch   nach beidseitigem Summieren der Ausdruck

 

hervorgeht. Dieser gilt naturgemäß nur auf der Halbebene  . Zu beachten ist jedoch, dass der Integrand neben der Kernfunktion   eine um   analytische Funktion ist:

 

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen  . Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von   im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz   fortgesetzt werden:

 [10]

Dabei wird ausgenutzt, dass   eine ganze Funktion ist. Wertet man die hebbaren Singularitäten (durch Limesbildung) and den Stellen   aus, offenbart sich der enge Zusammenhang zwischen   und den Bernoulli-Zahlen.

Eng verwandt zur oberen Transformation ist eine Kurvenintegraldarstellung. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Indem er den Integrationsweg des Mellin-Integrals aus dem oberen Abschnitt modifizierte, konnte Riemann für alle  

 

herleiten, wobei "der Integrationsweg   von +∞ nach +∞ verläuft und den Ursprung einmal umläuft". Gemeint ist damit ein Weg, der von +∞ knapp über der reellen Achse parallel Richtung Ursprung verläuft, diesen entgegen Uhrzeigerrichtung umkreist, und anschließend unterhalb der reellen Achse wieder zu +∞ strebt.

Über eine inverse Mellin-Transformation lässt sich oberer Integrand aus der Zeta-Funktion zurück gewinnen. Es gilt für jede reelle Zahl   und alle  :

 

Der tiefe Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und der Fakultät wurde bereits von Euler beobachtet, jedoch nicht mathematisch rigoros ausgearbeitet.

Spezielle FunktionswerteBearbeiten

Funktionswerte für gerade natürliche ZahlenBearbeiten

Die Funktionswerte der riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl  . Für eine positive ganze Zahl   ist

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Somit lässt sich jeder Funktionswert   in der Form

 

schreiben, wobei   und   ganze Zahlen sind. Daraus folgt auch sofort, dass jeder Wert   für natürliche Zahlen   irrational und sogar transzendent ist.

Beispielsweise ist

 

Diese Formeln wurden von Euler entdeckt und 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht. Das Auffinden des Werts von   ist auch als das Basler Problem bekannt.

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

 

für natürliche Zahlen  , die Euler noch nicht bekannt war.[12]

Funktionswerte für ungerade natürliche ZahlenBearbeiten

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass die Apéry-Konstante   irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[13] Sein Beweis fand große Achtung in den Mathematikerkreisen – z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Im Wesentlichen verwendete Apéry die Reihe

 

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch  . Somit geriet die Frage nach der Existenz rationaler Zahlen   mit

 

oder auch

 

zunehmend in den Mittelpunkt, um Aperys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können. Diese ist bis heute nicht geklärt, aber Gegenstand intensiver Forschung.

Es ist hingegen sehr wohl bekannt, dass unendlich viele Werte   irrational sind.[14] Außerdem konnte Wadim Zudilin als Spezialfall zeigen, dass mindestens einer der Werte  ,  ,   und   irrational sein muss.[15]

Um 1900 fand Matyáš Lerch[16] einen besonders eleganten Ausdruck für  :

 

Durch Arbeiten von Lerch und S. Ramanujan inspiriert,[17] entwickelte der Kanadier Simon Plouffe ab 1995 weitere Ausdrücke dieser Art:

 
 

Diese Ausdrücke eignen sich für eine effiziente Berechnung der Zetawerte sehr gut, da die einbezogenen Reihen äußerst schnell konvergieren.

Eine allgemeine Formel für alle ungeraden positiven ganzen Zahlen der Form   mit   ist:[18]

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl ist. Dies vereinfacht sich zu einer alternativen Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:

 [19]

Somit lässt sich jeder Wert   in der Form

 

mit ganzen Zahlen   und   schreiben, was, ähnlich bei den Werten gerader Funktionsargumente, eine engere Verwandtschaft zwischen   und   impliziert. Es ist jedoch bis heute ungeklärt, ob einer der Werte   als rationales Vielfaches von   darstellbar ist.

Es gibt noch eine Multiintegraldarstellung für natürliche Argumente. Für alle   erhält man:

 

So bekommt man unter anderem:

 

Dies beweist man leicht durch die Auffassung des Integranden als Grenzwert der geometrischen Reihe und Vertauschung von Integration und Summation.

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze ZahlenBearbeiten

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Insbesondere sind sie alle rational. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl   zu:

 

Aus   für ungerade n sowie

 ,

was ebenfalls aus der Funktionalgleichung folgt, geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen   gültige Darstellung

 

hervor. Weitere Werte sind:

 

Bezüglich des Wertes   schrieb der indische Mathematiker S. Ramanujan in einem seiner Artikel die (formal natürlich inkorrekte) Gleichung:

 

siehe auch im Abschnitt Geschichte.

Funktionswerte für halbzahlige ArgumenteBearbeiten

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

    (Folge A059750 in OEIS),
    (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

 
 

2017 gab Franke[20] folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

 

mit  ,  ,  ,   und  .

Spezielle Werte der AbleitungBearbeiten

Für alle negativen ganzen Zahlen   erhält man insbesondere:

 

Daraus ergeben sich unter anderem die Werte:

 

Andere Werte sind:

 

wobei   hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

NullstellenBearbeiten

 
Die ersten "trivialen" Nullstellen der  -Funktion.
 
Neben den trivialen Nullstellen bei s = −2, −4, −6, … besitzt die riemannsche Zeta-Funktion auch nicht-triviale im kritischen Streifen. Potenzielle Nullstellenpaare sind hier sporadisch eingezeichnet: aufgrund der Invarianz der Funktionalgleichung über s nach 1−s und der Spiegelung von Funktionswerten komplex konjugierter Argumente an der reellen Achse treten die Nullstellenpaare jeweils doppelt (also gespiegelt) auf. Nur wenn die Riemannvermutung richtig ist, treffen sich alle horizontalen Paare auf der kritischen Geraden σ = 1/2.
 
Blau ist der Realteil und rot der Imaginärteil der Funktion   dargestellt, so dass man klar die ersten nichttrivialen Nullstellen erkennen kann.

Die Lage der Nullstellen der riemannschen Zeta-Funktion hängt stark mit der Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise folgt aus der Aussage, dass   für alle   bereits der Primzahlsatz.

Triviale NullstellenBearbeiten

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass   für   gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

 

die „trivialen“ Nullstellen   sind.

Nicht-triviale NullstellenBearbeiten

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen  . Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet. Das hat den Grund, dass bis heute nur sehr wenig über die genaue Lage dieser Nullstellen bekannt ist. Dies hat unter anderem den Grund, dass das Euler-Produkt in dieser Region nicht mehr konvergiert.

Nullstellenfreie RegionenBearbeiten

Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises gezeigt werden, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden   besitzt. Diese nullstellenfreie Region konnte (teils mit großem analytischen Aufwand) verbessert werden. Das bis heute schärfste nullstellenfreie Gebiet ist für   gegeben durch[21]:

 

Solche Verbesserungen führen (in verallgemeinerter Form für Dirichletsche L-Funktionen) unter anderem zum Satz von Siegel-Walfisz.[22]

Spiegelung der NullstellenBearbeiten

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B.   eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

 

auch   Nullstelle. Zusätzlich aber ist  , weshalb auch   Nullstelle ist; analog aber auch   Zu bemerken ist, dass alle Werte   und   im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden  , wobei dann stets   bzw.   gilt.

Asymptotische VerteilungBearbeiten

Das Verteilungsmuster der Nullstellen entlang des kritischen Streifens ist nicht vollkommen zufällig. Ähnlich wie bei den Primzahlen, die auf den ersten Blick völlig willkürlich unter den natürlichen Zahlen verstreut sind, lässt sich auch hier eine einfache Funktion finden, die zumindest asymptotisch die Streuung darstellt und nachvollzieht. So kann man für eine gegebene Zahl   ein annäherndes Ergebnis auf die Frage finden, wie viele Nullstellen sich im Bereich zwischen der reellen Achse und der Gerade   werden finden lassen. Riemann gab in seiner Arbeit diese Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl   der Nullstellen innerhalb des Rechtecks   erfülle die asymptotische Äquivalenz

 

wobei der relative Fehler die Größenordnung   besitzt. Seinen Gedankengang begründete er über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

 

wobei   die riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Unglücklicherweise fand sich in seinen Aufzeichnungen aber kein einziger Hinweis, wie er dieses Integral berechnet hatte. Da Riemann ein Genie auf dem Gebiet funktionentheoretischer Umformungen war, geht man davon aus, dass er die Auswertung schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass Riemanns Herleitung noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnte. Auch bezüglich anderer Aussagen fehlte es der Nachwelt an Beweisen. Riemann ging nämlich noch weiter und behauptete die wesentlich stärkere Aussage, dass die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden   ebenfalls ungefähr bei seiner Auswertung von   läge. Bis heute kann nur spekuliert werden, wie er es schaffen konnte, solch eine starke Aussage mit seinen Mitteln herzuleiten. Erst über 50 Jahre später konnte Mangoldt beweisen, dass Riemann zumindest bei seiner Angabe der Nullstellen im Rechteck   recht gehabt hatte.[23] Riemanns Aussagen über die Verteilung der Nullstellen auf der kritischen Gerade sind jedoch wesentlich schwerer zu beweisen. Erst durch Arbeiten von Hardy, Littlewood, Selberg und Levinson im 20. Jahrhundert gelangen erste wichtige Einblicke und Erfolge.

Lage auf der kritischen GeradenBearbeiten

 
Godfrey Harold Hardy
 
Atle Selberg

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden   liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zu nutze, dass für alle reellen Zahlenwerte   der Ausdruck

 

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass   für   unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass   unendlich viele Nullstellen auf   besitzt.[24] 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für ausreichend große Werte   die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment   mindestens   beträgt, wobei   eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf  .[25] Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt.

Anfang der 1970er konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss. Sein nur knapp dreiseitiger Beweis[26] wird als wichtiger Schritt in Richtung einer noch unbekannten Lösung der riemannschen Vermutung gesehen.

 
Approximation der Primzahlfunktion im Intervall [200, 230] durch die ersten 500 Nullstellen. Der Index   in dieser Animation steht für die Anzahl der Nullstellenpaare, die in der obigen Summe eingesetzt werden.[27]

Explizite Berechnung der PrimzahlfunktionBearbeiten

Über die nicht-trivialen Nullstellen kann der Wert der Primzahlfunktion   an der Stelle   explizit und exakt berechnet werden. Riemann führt die zahlentheoretische Funktion

 

ein (in seinem Artikel  , in anderer Literatur auch  ), wandelt sie um in

 

und kommt zu

 

wobei   den Integrallogarithmus und   die Möbiusfunktion bezeichnet. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe   die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als   zu verstehen (hier bezeichnet   die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von   über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen!

Numerische Werte der frühen NullstellenBearbeiten

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise[28]

±k ±Im ρk ±k ±Im ρk
1 14,134725141734693790… 11 52,970321477714460644…
2 21,022039638771554993… 12 56,446247697063394804…
3 25,010857580145688763… 13 59,347044002602353079…
4 30,424876125859513210… 14 60,831778524609809844…
5 32,935061587739189690… 15 65,112544048081606660…
6 37,586178158825671257… 16 67,079810529494173714…
7 40,918719012147495187… 17 69,546401711173979252…
8 43,327073280914999519… 18 72,067157674481907582…
9 48,005150881167159727… 19 75,704690699083933168…
10 49,773832477672302181… 20 77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz, …) ist bis heute nichts bekannt.[29]

Hadamard-ProduktentwicklungBearbeiten

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist deshalb so bedeutend, weil sie der Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt der Form

 

explizit zu rekonstruieren, wobei   eine meromorphe und nullstellenfreie (meist elementare) Funktion darstellt. Im Falle der Zeta-Funktion ergibt sich für   die Funktion   und somit unter Verwendung der trivialen sowie nicht-trivialen Nullstellen:

 

Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gamma-Funktion   erhält man das Hadamard-Produkt[30], benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in   konvergiert:

 

Eine etwas einfachere Form des Hadamard-Produktes ist:

 

Besonders diese letzte Darstellung verdeutlicht, dass sich die  -Funktion im Prinzip komplett aus ihren Nullstellen und ihrer Singularität bei   konstruieren lässt. Dieses Produkt ist jedoch nur bedingt konvergent. Absolute Konvergenz ergibt sich, wenn man die Nullstellen „paarweise“ ordnet.   und   sind ein solches Paar. Also:

 

Aufgrund ihrer langsamen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch in der Praxis nicht als Grundlage für einen numerischen Berechnungsalgorithmus für die Zeta-Funktion geeignet.

Die riemannsche VermutungBearbeiten

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden   liegen. Diese so genannte riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang von parallel zur imaginären Achse verlaufenden Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenz-Methoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf, ψ bzw. ψ*, die man anschließend zur Interferenz bringt.[31]

Zusammenhänge zur Theorie der Automorphen FormenBearbeiten

In der Theorie der für die Zahlentheorie wichtigen Modulformen taucht die riemannsche Zeta-Funktion an einigen Stellen auf.

Zeta-Werte als Koeffizienten von EisensteinreihenBearbeiten

Für die Gewichte   sind die sog. Eisensteinreihen

 

Modulformen bezüglich der vollen Modulgruppe  . Als solche besitzen sie auf der oberen Halbebene eine Fourierentwicklung. Diese ist explizit gegeben durch

 

Unter Einsatz von Euler's Formel für positive, gerade ganzzahlige Funktionswerte kann jedoch die folgende, für die Zahlentheorie enorm wichtige, Normalisierung vorgenommen werden:

 

Die zu   zugehörige L-Funktion ist ferner gegeben durch

 

Dieses Prinzip verallgemeinert sich für Eisensteinreihen zu Kongruenzuntergruppen. Hier hängen die konstanten Koeffizienten mit Werten von L-Funktionen zu Dirichlet-Charakteren zusammen.

Beziehung zu nicht-holomorphen EisensteinreihenBearbeiten

Für komplexe Zahlen   mit   und   mit   konvergiert die Eisensteinreihe

 

absolut. Die dadurch definierte Funktion ist nicht-holomorph und zudem (für fixierte  ) invariant in   unter Wirkung der vollen Modulgruppe. Zudem lässt sie sich (für fixierte  ) in   meromorph in die gesamte Ebene fortsetzen mit einfachen Polen in   und  , es gilt die Funktionalgleichung

 

Diese Parallele zur Theorie der Zeta-Funktion lässt bereits einen Zusammenhang vermuten. Es gilt die Darstellung[32]

 

wobei   die Untergruppe der Translationen von   bezeichnet. Betrachtet man zudem die Fourierentwicklung

 

so gilt[33]

 

Nicht-holomorphe Eisensteinreihen, und damit auch die Zeta-Funktion selbst, spielen eine fundamentale Rolle bei der sogenannten Ranking-Selberg Methode.[34]

Beziehung zur ThetafunktionBearbeiten

Eine sehr wichtige Eigenschaft der riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über

 

aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable   einfach durch   ersetzt wird.

Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung. Zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der jacobischen Theta-Reihe direkt mit ein, nämlich  . Von Vorteil ist die Modifizierung  , es gilt  . Die Theta-Funktion ist dabei eine Modulform halbganzen Gewichts: Mit der poissonschen Summenformel fand bereits Jacobi die Identität  , woraus sofort   folgt.[35]

Ausgangspunkt ist die Integraldarstellung

 

Der folgende Trick ist eine Standard-Umformung beim Beweis des heckeschen Umkehrsatzes. Durch eine Aufspaltung des Integrals in die Intervalle   und  , wobei in letzteres die Substitution   vorgenommen wird:[36], folgt

 

Das zweite Integral kann elementar berechnet werden:

 

Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung   unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist deshalb gerechtfertigt, da das Integral auf der rechten Seite nun für alle   existiert.[37]

Beukers' Beweis der Irrationalität von  Bearbeiten

1987 konnte Frits Beukers die Irrationalität von   mit Hilfe der Theorie der Modulformen beweisen. Dafür betrachtete er die Funktion

 

welche eine Modulform zum Gewicht 4 für die Kongruenzuntergruppe   ist. Die zu diesem F korrespondierende L-Funktion ist dann

 

Das Argument bezieht sich letztlich auf eine Technik, welche Konvergenzradien von Umkehrfunktionen lokal injektiver, meromorpher Funktionen ausnutzt.[38] Nach heutigem Wissensstand lässt sich der Ansatz von Beukers jedoch nicht auf die Fälle   übertragen.

Anwendung in der analytischen ZahlentheorieBearbeiten

Im Wesentlichen gibt es zwei Anwendungstypen.

  • Typ 1: Man hat eine zahlentheoretische Funktion, d. h. Zahlen   die interessante arithmetische Informationen enthalten. Zum Beispiel könnte   die Anzahl aller ganzen Zahlen   darstellen, die teilerfremd zu   sind. Man will nun das Verhalten der Summe   für größer werdende   untersuchen. Dabei kann eine Möglichkeit sein, die von den   erzeugte Dirichlet-Reihe   zu betrachten. Hat diese gute analytische Eigenschaften, hängt also zum Beispiel stark mit der riemannschen Zeta-Funktion zusammen, kann mit Hilfe von Taubertheorie das Problem angegangen werden. Dabei gilt: je detaillierter die eingehenden Informationen sind, desto bessere Rückschlüsse können gezogen werden. Dies ist ein weiterer Hinweis auf die Bedeutung der riemannschen Vermutung.

Da Taubersätze meistens nicht geeignet sind, Restglieder abzuschätzen, kommen oft auch feinere Methoden zum Einsatz. In diesem Kontext ist zum Beispiel auf die Selberg-Delange Methode verwiesen.

  • Typ 2: Hat man umgekehrt gewisse Informationen über die Zahlen   gesammelt, so kann man diese in manchen Fällen auf die erzeugte Dirichlet-Reihe   anwenden, um so Informationen über deren Verhalten zu treffen. In diesem Kontext sei zum Beispiel auf die Mertenssche Vermutung verwiesen, die allerdings bereits widerlegt wurde.

Im Folgenden werden einige wichtige Beispiele gegeben.

Zusammenhang zum PrimzahlsatzBearbeiten

Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen   unter einer gegebenen Schranke   asymptotisch gleich wie der Ausdruck  . Es gilt also

 

Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen. Dafür betrachtet man die sog. Mangoldt-Funktion[39]

 

Der Primzahlsatz ist nun äquivalent zu der Aussage

 

Dies wurde von Tschebyschow gezeigt. Betrachtet man die von   erzeugte Dirichlet-Reihe, ergibt sich

 

Aus   für alle   folgt, dass die Funktion   auf dem ganzen Streifen   (außer im Punkt  ) holomorph ist, was wegen   den Einsatz eines Taubersatzes ermöglicht. Damit folgt   und der Primzahlsatz ist bewiesen.

Erstaunlicherweise ist im Beweis des Primzahlsatzes absolut entscheidend, dass die Zeta-Funktion auf der Geraden   keine Nullstellen besitzt. Bereits hier ist also zu erkennen, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Zeta-Funktion gibt. In der Tat, durch die Angabe nullstellenfreier Gebiete lässt sich das Restglied   in   weiter verbessern.

In Verbindung mit zahlentheoretischen FunktionenBearbeiten

Es existieren Zusammenhänge zwischen einigen zahlentheoretischen Funktionen und der  -Funktion. Diese Verbindungen drücken sich in Dirichlet-Reihen aus, die über die betreffenden zahlentheoretischen Funktionen gebildet werden. Hierbei macht man sich zu Nutze, dass das Produkt zweier (oder generell mehrerer) konvergenter Dirichlet-Reihen eine wiederum konvergente Dirichlet-Reihe ergibt. Man spricht auch von der sogenannten Dirichlet-Faltung zweier (oder mehrerer) Dirichlet-Reihen. In diesem Zusammenhang kann man sich zum Beispiel die Dirichlet-Reihen von  ,   oder auch   ansehen.

TeilerfunktionenBearbeiten

Man findet beispielsweise die Relation:

 

wobei   die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl   besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

 

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als   bezeichnet wird. Der Summenindex wird als   gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von   über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare   gewinnen kann, für die   gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von   darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl   besitzt.

Allgemeiner hat man:

 

wobei   die verallgemeinerte Teilerfunktion ist.[40]

MöbiusfunktionBearbeiten

Mit der Möbiusfunktion erhält man eine Dirichlet-Reihe, die den Kehrwert der  -Funktion erzeugt. Es gilt dann:

 

Zur Erklärung dieses Zusammenhangs betrachtet man

 

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe, die sich dann definitionsgemäß über die Möbiusfunktion erstreckt.

Eulersche Phi-FunktionBearbeiten

Die Dirichlet erzeugende Funktion für die Eulersche  -Funktion ist gegeben durch

 

Damit folgt unter anderem

 

Summe von QuadratenBearbeiten

Die Dirichlet-Reihe der Quadratsummen-Funktion  , die angibt, auf wie viele Arten eine natürliche Zahl   als Summe von   Quadraten ganzer Zahlen geschrieben werden kann, lässt sich ebenfalls auf die riemannsche Zetafunktion überleiten. So erhält man beispielsweise zusammen mit der dirichletschen Betafunktion:[41]

 

Insbesondere lässt sich über diesen Ansatz zeigen, dass sich der Limes

 

einer festen Konstanten   nähert. Diese Sierpiński-Konstante (benannt nach Wacław Sierpiński) lässt sich in Abhängigkeit von der Kreiszahl, der Euler-Mascheroni Konstante und logarithmierten Werten der Gammafunktion auch schreiben als:

 

Mittels eines Taubersatzes findet man außerdem

 

was jedoch auch mittels elementarer Geometrie (durch Zählen von Gitterpunkten in Kreisen mit dem Ursprung als Mittelpunkt) gezeigt werden kann!

Ähnliche Ausdrücke finden sich für 4 bzw. 8 Quadrate:

 
 .[42]

Daraus folgt unter anderem unmittelbar der Satz von Jacobi.

Anwendung in der algebraischen Zahlentheorie und VerallgemeinerungenBearbeiten

Dirichletsche L-FunktionenBearbeiten

Die riemannsche Zeta-Funktion ist eine spezielle dirichletsche L-Funktion. Sie korrespondiert zum sog. trivialen Charakter   für alle Werte  . Aus diesem Grunde ist sie zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, die sich mit der Struktur von Charakteren zu gewissen Gruppen befasst.

Verwandtschaft zur dedekindschen Zeta-Funktion von ZahlkörpernBearbeiten

Beziehung zum Zahlkörper  Bearbeiten

Im Falle   ist die dedekindsche Zeta-Funktion   gerade die riemannsche Zeta-Funktion. Insbesondere hängt diese mit den Primelementen in deren Ganzheitsring   zusammen.

Beziehung zu quadratischen ZahlkörpernBearbeiten

Ist   eine quadratische Erweiterung von   mit Diskriminante  , so hängt ihre dedekindsche Zeta-Funktion eng mit der riemannschen Zeta-Funktion zusammen. Es gibt dann nämlich einen Dirichlet-Charakter   modulo  , so dass

 

wobei   die zu   gehörige dirichletsche L-Funktion bezeichnet. Die Funktion   hat einen Pol erster Ordnung in   und erfüllt eine Funktionalgleichung.

Verwendet werden kann die dedekindsche Zetafunktion unter anderem zur Berechnung der Klassenzahl von  . Dafür wird die sogenannte Klassenzahlformel verwendet.

Ein wichtiger Spezialfall ist  . Die dazu korrespondierende Zeta-Funktion ist gegeben durch

 

wobei die dirichletsche Betafunktion   zum Charakter   modulo 4 korrespondiert. Daraus ergeben sich relativ direkt Formeln für die Summe von zwei Quadraten.

Abelsche ErweiterungenBearbeiten

Im Falle, dass   eine abelsche Erweiterung ist, ist der Quotient   eine ganze Funktion. D.h. gewissermaßen, dass die riemannsche Zeta-Funktion in diesem Falle ein "Teiler von  " ist. Dass dies auch für nicht-abelsche Erweiterungen richtig ist, ist Gegenstand tiefer zahlentheoretischer Vermutungen (Artinsche Vermutung).

Beziehungen zu anderen speziellen FunktionenBearbeiten

Als Taylor-Koeffizienten von Kotangens und Digamma-FunktionBearbeiten

In der Analysis tritt die Zeta-Funktion unter anderem als Koeffizientenfolge in den Taylor-Reihen des Kotangens und der Digamma-Funktion auf.

Die erzeugende Funktion der Folge   mit   für alle   ist:

 

wobei   hier die Digamma-Funktion und   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.[43]

Summiert man außerdem in einer Potenzreihe, die die Zetafunktionswerte als Koeffizienten hat, nur über die geradzahligen Exponenten bzw. Folgeglieder, so ergibt sich:

 

ebenfalls mit Konvergenzradius 1.[43] Diese Identität bietet einen Beweisansatz für Euler's Formel für  .

Beziehung zur PolygammafunktionBearbeiten

Espinosa und Moll haben 2003 die Relation

 

mit der Digammafunktion   und der auf komplexe Ordnungen   verallgemeinerten Polygammafunktion   aufgezeigt.[44] Unter Ausnutzung der Beziehung

 

zur hurwitzschen Zeta-Funktion und Einsetzen in die allgemeinere Relation

 

gelangt man zu

 

Damit sind die Nullstellen der ζ-Funktion Lösungen ρ der Gleichung

 

Wegen der „Multiplikationsformel“

 

lässt sich für  ,   sogar die allgemeinere Beziehung

 

herleiten.

Beziehung zur PrimzetafunktionBearbeiten

Es gilt für alle   mit  :

 

wobei   mit

 

die Primzetafunktion bezeichnet.[45] Mit Hilfe von Möbius-Inversion lässt sich daraus eine Möglichkeit ableiten, die Primzetafunktion schnell aus einer Reihe über logarithmierte Zeta-Funktionen zu gewinnen.

 

Diese kuriose Formel kann dazu verwendet werden, die Primzetafunktion extrem effizient zu berechnen. Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden[46]

 

Ferner ist es möglich zu zeigen, dass die Reihe   der reziproken Primzahlen divergiert.

Sonstiges AuftretenBearbeiten

In der AnalysisBearbeiten

Es gibt eine reichhaltige Fülle an unendlichen Reihen mit besonderen Grenzwerten, die die Zeta-Funktion beinhalten. Zwei Beispiele für Reihen mit rationalen Grenzwerten sind:

 

und

 

Zusammen mit der Euler-Mascheroni-Konstante   hat man:

 
 
 

und auch:

 

Auch für die catalansche Konstante   existieren solche Reihen:[47]

 

In der WahrscheinlichkeitstheorieBearbeiten

Die Zeta-Funktion spielt eine zentrale Rolle bei der sogenannten Zipf-Verteilung. Es gilt für eine Zufallsvariable  :

 

Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte Zahlen teilerfremd sind, ist gleich

    (Folge A059956 in OEIS).

Allgemeiner ist   die Wahrscheinlichkeit, dass n positive ganze Zahlen keine k-te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.[48]

Als Funktionswert spezieller FunktionenBearbeiten

Die riemannsche Zeta-Funktion taucht ebenfalls bei der Auswertung bestimmter Funktionswerte anderer spezieller Funktionen auf, was nicht zuletzt durch ihre Verbindung zur Gamma-Funktion (beispielsweise in der Funktionalgleichung) begründet werden kann. Zum Beispiel ergibt sich mit der Polygamma-Funktion:

 
 [49]

Numerische BerechnungBearbeiten

Für eine schnelle numerische Berechnung der Funktion   sind viele klassische Darstellungsformen eher unbrauchbar. Dazu zählen in etwa im Besonderen die Dirichlet-Reihe, das Euler-Produkt, die Mellin-Transformation und das Hadamard-Produkt. Für effiziente Leistung ist ein endlicher approximativer Summenausdruck mit hoher Konvergenzgeschwindigkeit am geeignetsten.

Als gute Methode erweist sich die „abgebrochene“ Summenformel, die mit Hilfe der Euler-MacLaurin-Summenformel,

 

gewonnen wird, wobei f als Mindestvoraussetzung eine auf dem Intervall   q-mal differenzierbare Funktion ist,   die Bernoulli-Polynome sind und   den ganzzahligen Anteil von x darstellt.[50] Setzt man hier   ergibt sich beispielsweise die in der Literatur häufig zitierte Darstellung

 

die für   gültig ist.[51]

Hierfür wird zunächst eine beliebige natürliche Zahl   festgelegt, für die außerdem   gelten sollte. Es gilt dann:

 

wobei das Restglied   durch

 

gegeben ist. Bei der (freien) Wahl von   ist zu beachten, dass das Restglied nur auf der Halbebene   konvergiert. Daher muss stets   gelten. Für größer werdende Werte von   verkleinert sich der Fehler   unabhängig von   rapide.[52]

Durch Anwendung der Funktionalgleichung (eine schnelle Berechnung der Gamma-Funktion und der Exponentialfunktion   ist leicht zu implementieren), kann zudem ohne Einschränkung   angenommen werden. Hier ist die Summenformel deutlich schneller.

Die Nützlichkeit dieser Approximation ist bereits länger bekannt. Beispielsweise ermittelte Leonhard Euler 1735 den Wert von   auf etwa 20 Stellen genau, bevor er das Basler Problem, das sich mit dem analytisch „exakten“ Wert von   befasste, löste. Diese numerische Auswertung war für ihn die praktische Bestätigung für die Richtigkeit seines exakt ermittelten Wertes.[53]

Weiter fand der dänische Mathematiker Jørgen Pedersen Gram im Jahr 1903 numerische Werte der ersten 15 nicht-trivialen Nullstellen, wobei er die ersten zehn Nullstellen auf sechs und die weiteren fünf auf jeweils eine Stelle nach dem Komma ermittelte.[54]

BeispieleBearbeiten

Als ein Beispiel bietet sich die numerische Annäherung des Zahlenwertes von

 

an. Für eine sehr gute Approximation reichen die Werte   und   vollkommen aus. Einsetzen ergibt: