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Riemannsche ζ-Funktion

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Riemannsche Zetafunktion)
Die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8 …
Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte

Die Riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte.

Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion die eindeutige Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf Basis dessen konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. Beispielsweise folgt aus der Tatsache für alle komplexen Zahlen mit bereits, dass die -te Primzahl „recht genau“ den Wert hat – genauer gesagt gilt

Hier bezeichnet log den natürlichen Logarithmus. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand 2019) nicht geklärte Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil besitzen, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine in der ganzen Ebene (mit Ausnahme eines einfachen Pols an der Stelle ) holomorphe Funktion und erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann. Definiert wird sie üblicherweise über eine Dirichlet-Reihe oder ein dazu äquivalentes Euler-Produkt:

Zu beachten ist hier allerdings, dass beide Darstellungen nicht überall konvergieren.

Neben ihrer wichtigen zahlentheoretischen Bedeutung findet die Riemannsche Zeta-Funktion auch Anwendung in anderen Disziplinen. Dazu gehören unter anderem die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Physik. Auch gibt es zahlreiche Verallgemeinerungen dieser Funktion, die oft durch Hinzufügen weiterer Variablen entstehen, wie den Polylogarithmus oder die Hurwitzsche Zeta-Funktion.

Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen ζ-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung ohne mathematisches VorwissenBearbeiten

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen   beschäftigt, stehen die Primzahlen  . Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste   niemals enden wird.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt   und  . Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eines der größten mathematischen Rätsel.

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz   unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Zum Vergleich stelle man sich vor, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich

 

Ende des 19. Jahrhunderts konnte ein verblüffend einfaches (allerdings grobes) Beschreibungsmuster für das quantitative Verhalten der Primzahlen unter einer Größe bewiesen werden. Dieses wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß vermutet. Aus diesem lässt sich aus einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, schätzen. Das Muster wird relativ betrachtet immer genauer, je größer die obere Schranke gewählt wird. Beispielsweise liefert es für den Wert 50 die Prognose 18 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben). Weiter sagt es rund 1246 Primzahlen unter der Zahl 10.000 voraus – tatsächlich sind es 1229.

Das entscheidende Werkzeug zum Beweis dieses schätzungsweise richtigen Musters ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Das besondere an dieser Funktion ist, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Interessanterweise erhöht sich mit dem Wissen um die Zeta-Funktion auch unser Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden. Die Nullstellen der Zeta-Funktion implizieren zudem einen Korrekturterm obigen Musters, der es in einen exakten Ausdruck umwandelt. Jedoch sind praktische Berechnungen mit dieser Formel numerisch nicht sinnvoll.

Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.

GeschichteBearbeiten

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der Riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Der Grund dafür ist, dass vorher die notwendigen mathematischen Methoden (insbesondere die komplexe Analysis) noch nicht entwickelt waren. Zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung besaß die Zeta-Funktion außerdem noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem lange vor Riemann die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer recht einfachen Definition bei weitem nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

 
Leonhard Euler, 1735

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler. Seit Beginn des 18. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

 

zu bestimmen. Leonhard Euler, der im Jahre 1735 dieses schwierige Basler Problem mit Hilfe eigener neuartiger Techniken löste,[1] untersuchte anschließend den verallgemeinerten Ausdruck

 

(Euler verwendete das „reelle  “, die Schreibweise mit komplexer Variable   wurde erst über Riemann populär) in der Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen über diese Reihe treffen zu können. Da die Methoden der komplexen Analysis zu Lebzeiten Eulers noch weitgehend unbekannt waren, war er auch noch nicht imstande, das Problem der Primzahlen in der gleichen Weise anzugehen wie später Riemann. Jedoch gelangen ihm einige wichtige Aussagen.

 
Bernhard Riemann, 1863
 
Die erste Seite von Bernhard Riemanns Artikel über Primzahlen
 
Srinivasa Ramanujan

So fand er zum Beispiel als erster die Lösung des Basler Problems

 

und eine allgemeine Formel für gerade positive Argumente (siehe unten), die 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht wurde. Auch berechnete er neben   von Hand[2] den Wert

 

sowie das nach ihm benannte Euler-Produkt

 

und konnte mit seiner Hilfe die Divergenz der Reihe der Kehrwerte aller Primzahlen

 

nachweisen.[3] Diese Tatsache war für ihn ein Indikator dafür, dass Primzahlen wesentlich dichter liegen müssten als Quadratzahlen, da er im Basler Problem ja gezeigt hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein.[4]

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Die große Leistung bestand darin, die Relevanz der Ausweitung des Definitionsbereichs auf komplexe Zahlen zu erkennen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise mittels komplexer Zahlen möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Das ist insofern bemerkenswert, als Primzahlen reelle Zahlen sind. Riemann, der ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zum Primzahlrätsel gelungen. Er etablierte das griechische   (Zeta) als Funktionssymbol und formulierte außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte Riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Zudem beschäftigte sich Riemann auch mit der numerischen Berechnung der Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Die dafür verwendete Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen.[5] Insbesondere fanden sich in seinen Aufzeichnungen wenig Hinweise darauf, wie er gewisse Kurvenintegrale berechnet hatte. Da Riemann eine gute Intuition für funktionentheoretische Umformungen hatte, geht man davon aus, dass er manche Auswertungen schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass manche von Riemanns Herleitungen noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnten. Heutzutage gilt die berühmte Riemannsche Vermutung als die letzte noch unbewiesene Aussage aus Riemanns Arbeit über die Zeta-Funktion.

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker S. Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

 

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Als Ramanujan jedoch den britischen Mathematiker Godfrey Harold Hardy in Cambridge brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts   bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse.[6]

DefinitionBearbeiten

 
Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich, in dem die Reihe divergiert, ist grau dargestellt. Das untere Bild zeigt die analytisch fortgesetzte Zeta-Funktion.
 
Im Vergleich: die analytische Fortsetzung. Ihre Werte stimmen innerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene exakt mit denen der Dirichlet-Reihe überein. Jedoch besitzt sie generell Werte für alle   mit  .

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.

Für komplexe Zahlen  , deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

 

Wie man leicht über das Integralkriterium für unendliche Reihen beweist, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch ungültig. In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die  -Funktion für   über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

 

und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.

Die Dirichlet-Reihe wird aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen   mit   möglich. Damit kann schließlich auch scheinbar unendlich großen Werten wie   ein Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel  .

Euler-ProduktBearbeiten

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, das für alle   mit   gültig ist:

 

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe   gebildet über den Wert   dar, während sich das ganze Produkt über alle Primzahlen   erstreckt. Das Euler-Produkt ist so erstaunlich, weil Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Es stellt aber eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar.

Zum Beweis betrachtet man für eine Schranke   zunächst

 

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

 

für alle Primzahlen  . Dann gilt aber auch

 

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle   summiert wird, deren Primteiler sämtlich   sind. Daraus folgt mit  

 

und mit   und   folgt die Behauptung.

Das Euler-Produkt konvergiert im betrachteten Bereich   unbedingt. Da kein Faktor dort den Wert 0 annimmt, ist eine direkte Konsequenz, dass die Zeta-Funktion in diesem Bereich keine Nullstellen besitzt. Mittels des Identitätssatzes für Dirichlet-Reihen lässt sich zeigen, dass das Euler-Produkt und der Fundamentalsatz der Arithmetik zueinander äquivalent sind.

Analytische FortsetzungBearbeiten

Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet   durch die Reihe   definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem größeren Gebiet   holomorphe Funktion, die auf ganz   mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets eindeutig bestimmt.

Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe   nicht schwierig, eine solche zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene   mittels folgender Beobachtung:[7]

 

Die Reihe zur Rechten konvergiert nachweislich in besagter erweiterten Halbebene und wird in der Literatur auch manchmal als Dirichletsche Eta-Funktion   bezeichnet. Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, die jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der Eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine 1930 von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz   definierte Reihenidentität

 

Diese wurde von Helmut Hasse bewiesen. Es ist zu beachten, dass die anderen Singularitäten   mit   sämtlich hebbar sind.

FunktionalgleichungBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet   die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz   gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen

 

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

 

für alle   hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

 

in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation   entsteht.[8][9]

Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate nach sich. So bietet sie beispielsweise wertvolle Erkenntnisse über die Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion, die in direktem Zusammenhang zu den Primzahlen stehen.

Alternativ zu der obigen Funktionalgleichung definierte Riemann in seiner Arbeit die Funktion

 

für die

 

gilt. Sie wird auch als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.[10]

Ein Herleitungsansatz für die Funktionalgleichung befindet sich im Abschnitt Beziehung zur Thetafunktion.

EigenschaftenBearbeiten

Meromorphie, Singularitäten und Laurent-ReiheBearbeiten

Die  -Funktion ist eine in ganz   holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer   komplex differenzierbar ist.

Ihre  -te Ableitung besitzt für Argumente   mit Realteil größer als 1 die Darstellung

 

An der Stelle   besitzt sie wegen der Divergenz der harmonischen Reihe einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, das heißt, es gilt:

 

Also ist sie eine in ganz   meromorphe Funktion. Insbesondere kann sie um   in eine Laurent-Reihe mit Konvergenzradius   entwickelt werden, diese hat die Form

 

Bei den Koeffizienten

 

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante ist,[11] für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

 

ergibt.

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für unbegrenzt größer werdende Realteile hat die Zeta-Funktion ein leicht zu bestimmendes asymptotisches Verhalten, es gilt

 

Dies folgt unmittelbar aus der gleichmäßigen Konvergenz der Dirichlet-Reihe in den Bereichen   und Vertauschen von Limes und Summation: Für   gilt

 

Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Wachstumsgesetze entlang der vertikalen imaginären Achse sind, falls vorhanden, deutlich schwerer zu sondieren. Jedoch sind einige Abschätzungen bekannt. Mit Hilfe des Phragmen-Lindelöf-Prinzips zeigt man

 

für feste Werte   und alle reellen  . Dabei ist   eine positive Konstante. Diese Abschätzung kann jedoch vermutlich weiter verbessert werden. Setzt man zu diesem Zweck

 

so wird zum Beispiel vermutet, dass   ist. Diese Lindelöfsche Vermutung folgt aus der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung, ist aber bis heute unbewiesen.

Spiegelung konjugierter ArgumenteBearbeiten

Hinweis: Diese ist keine nur für die Zeta-Funktion spezifische Eigenschaft, spielt aber bezüglich der Verteilung der Nullstellen eine wichtige Rolle, weshalb sie trotzdem ausführlicher erwähnt wird.

Zu einer komplexen Zahl   mit   definiert man ihre Konjugation über  . Es gilt nun für alle  

 

Das bedeutet: Wenn für ein reelles Zahlenpaar   mit  

 

mit   gilt, so gilt gleichzeitig

 

Das sieht man unmittelbar mit   – im Falle der analytischen Fortsetzung ist dies mit der Reihentransformation weiterhin erfüllt. Ist nun   eine Nullstelle, so gilt insbesondere

 

weshalb   ebenfalls Nullstelle ist.

Charakterisierung durch HamburgerBearbeiten

Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die Riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.

Es sei  , wobei   eine ganze Funktion endlicher Ordnung und   ein Polynom ist, für   durch die Dirichlet-Reihe   darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung

 

wobei   ebenfalls auf der Halbebene   als Dirichlet-Reihe   darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität  .[12]

 
Jede auf dem kritischen Streifen   definierte und in einem Gebiet   nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert
 
Die Zeta-Funktion verhält sich im kritischen Streifen sehr chaotisch. Hier ein Ausschnitt für
 
 

Universalitätssatz von WoroninBearbeiten

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die Riemannsche  -Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: Sei   eine zusammenhängende, kompakte Teilmenge des Streifens  .

Sei nun   eine in ganz   holomorphe Funktion, die außerdem für kein   verschwinde. Es existiert dann für jedes   ein  , sodass

 

für alle  . Wenn es nun kein   gibt, derart dass   ist, die Approximation also nicht perfekt möglich ist und trotzdem immer besser werden soll, indem   immer kleiner wird, muss   immer größer werden. Dabei kann   nicht den Limes   haben, sondern höchstens ein Häufungspunkt sein.

Es gilt sogar noch mehr: Die Dichte aller  , die eine Approximation erfüllen, ist positiv, wie die Ungleichung

 

beweist. Hier ist   das Standard-Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.[13]

Mellin-Transformation – die Verbindung zur Gamma-FunktionBearbeiten

Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die sogenannte Mellin-Transformation. Dabei wird die Zeta-Funktion über ein unendliches Integral ausgedrückt.

Grundlage dieser Darstellung ist das eulersche Integral für die Gamma-Funktion

 

aus dem nach der Substitution   mit   und Division durch   nach beidseitigem Summieren der Ausdruck

 

hervorgeht. Dieser gilt naturgemäß nur auf der Halbebene  . Zu beachten ist jedoch, dass der Integrand neben der Kernfunktion   eine um   analytische Funktion ist:

 

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen  . Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von   im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz   fortgesetzt werden:

 [11]

Dabei wird ausgenutzt, dass   eine ganze Funktion ist. Wertet man die hebbaren Singularitäten (durch Limesbildung) and den Stellen   aus, offenbart sich der enge Zusammenhang zwischen   und den Bernoulli-Zahlen.

Eng verwandt zur obigen Transformation ist eine Kurvenintegraldarstellung. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Indem er den Integrationsweg des Mellin-Integrals aus dem oberen Abschnitt modifizierte, konnte Riemann für alle  

 

herleiten, wobei „der Integrationsweg   von   nach   verläuft und den Ursprung einmal umläuft“. Gemeint ist damit ein Weg, der von   knapp über der reellen Achse parallel zu dieser Richtung Ursprung verläuft, diesen entgegen der Uhrzeigerrichtung umkreist, und anschließend unterhalb der reellen Achse wieder zu   strebt.

Über eine inverse Mellin-Transformation lässt sich obiger Integrand aus der Zeta-Funktion zurückgewinnen. Es gilt für jede reelle Zahl   und alle  

 

Der tiefe Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und der Fakultät wurde bereits von Euler beobachtet, jedoch nicht mathematisch rigoros ausgearbeitet.

Spezielle FunktionswerteBearbeiten

Funktionswerte für gerade natürliche ZahlenBearbeiten

Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl  . Für eine positive ganze Zahl   ist

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Somit lässt sich jeder Funktionswert   in der Form

 

schreiben, wobei   und   ganze Zahlen sind. Daraus folgt sofort, dass jeder Wert   für natürliche Zahlen   irrational und sogar transzendent ist.

Beispielsweise ist

 

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

 

für natürliche Zahlen  , die Euler noch nicht bekannt war.[14]

Funktionswerte für ungerade natürliche ZahlenBearbeiten

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Beispielsweise weiß man, dass die Apéry-Konstante   irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[15] Sein Beweis fand in Mathematikerkreisen große Beachtung – z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Im Wesentlichen verwendete Apéry die Reihe

 

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch  . Somit geriet die Frage nach der Existenz rationaler Zahlen   mit

 

oder auch

 

zunehmend in den Mittelpunkt, um Aperys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können. Diese ist bis heute nicht geklärt, aber Gegenstand intensiver Forschung.

Es ist hingegen sehr wohl bekannt, dass unendlich viele Werte   irrational sind. Genauer lässt sich sagen, dass es zu jedem   ein   gibt, sodass für alle   die Ungleichung

 

gilt.[16] Außerdem konnte Wadim Zudilin als Spezialfall zeigen, dass mindestens einer der Werte  ,  ,   und   irrational sein muss.[17]

Um 1900 fand Matyáš Lerch[18] einen besonders eleganten Ausdruck für  :

 

Durch Arbeiten von Lerch und S. Ramanujan inspiriert,[19] entwickelte der Kanadier Simon Plouffe ab 1995 weitere Ausdrücke dieser Art:

 
 

Viele dieser Formeln lassen sich durch Anwendung des Residuensatzes auf die Funktion   zeigen. Sie eignen sich für eine effiziente Berechnung der Zetawerte sehr gut, da die einbezogenen Reihen äußerst schnell konvergieren. Eine allgemeine Formel für alle ungeraden positiven ganzen Zahlen der Form   mit   ist:[20]

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl ist. Dies vereinfacht sich zu einer alternativen Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:[21]

 

Somit lässt sich jeder Wert   in der Form

 

mit ganzen Zahlen   und   schreiben, was, ähnlich bei den Werten gerader Funktionsargumente, eine engere Verwandtschaft zwischen   und   impliziert. Es ist jedoch bis heute ungeklärt, ob einer der Werte   als rationales Vielfaches von   darstellbar ist. Nach einer Vermutung von Kohnen, die 1989 im Zusammenhang zu Perioden von Modulformen formuliert wurde, sind alle Quotienten   mit   transzendente Zahlen.[22]

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze ZahlenBearbeiten

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Insbesondere sind sie alle rational. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl   zu

 

Aus   für ungerade   sowie

 ,

was ebenfalls aus der Funktionalgleichung folgt, geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen   gültige Darstellung

 

hervor. Weitere Werte sind:

 

Bezüglich des Wertes   schrieb der indische Mathematiker S. Ramanujan in einem seiner Artikel die (formal natürlich inkorrekte) Gleichung:

 

siehe auch im Abschnitt Geschichte.

Funktionswerte für halbzahlige ArgumenteBearbeiten

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

    (Folge A059750 in OEIS),
    (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

 
 

2017 gab Franke[23] folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

 

mit  ,  ,  ,   und  .

Spezielle Werte der AbleitungBearbeiten

Für alle negativen ganzen Zahlen   erhält man insbesondere

 

Daraus ergeben sich unter anderem die Werte

 

Andere Werte sind:

 

wobei   hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

NullstellenBearbeiten

 
Die ersten „trivialen“ Nullstellen der  -Funktion
 
Neben den trivialen Nullstellen bei   besitzt die Riemannsche Zeta-Funktion auch nicht-triviale im kritischen Streifen. Potenzielle Nullstellenpaare sind hier sporadisch eingezeichnet: Aufgrund der Invarianz der Funktionalgleichung über   nach   und der Spiegelung von Funktionswerten komplex konjugierter Argumente an der reellen Achse treten die Nullstellenpaare jeweils doppelt (also gespiegelt) auf. Nur wenn die Riemannvermutung richtig ist, treffen sich alle horizontalen Paare auf der kritischen Geraden  .
 
Blau ist der Realteil und rot der Imaginärteil der Funktion   dargestellt, sodass man klar die ersten nicht-trivialen Nullstellen erkennen kann

Die Lage der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion hängt stark mit der Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise folgt aus der Aussage, dass   für alle   bereits der Primzahlsatz.

Triviale NullstellenBearbeiten

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass   für   gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens

 

die „trivialen“ Nullstellen   sind.

Nicht-triviale NullstellenBearbeiten

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen  . Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet. Das hat den Grund, dass bis heute nur sehr wenig über die genaue Lage dieser Nullstellen bekannt ist. Dies hat unter anderem den Grund, dass das Euler-Produkt in dieser Region nicht mehr konvergiert.

Nullstellenfreie RegionenBearbeiten

Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises gezeigt werden, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden   besitzt. Diese nullstellenfreie Region konnte (teils mit großem analytischen Aufwand) verbessert werden. Das bis heute schärfste nullstellenfreie Gebiet ist für   gegeben durch[24]

 

Solche Verbesserungen führen (in verallgemeinerter Form für Dirichletsche L-Funktionen) unter anderem zum Satz von Siegel-Walfisz.[25]

Spiegelung der NullstellenBearbeiten

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B.   eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

 

auch   Nullstelle. Zusätzlich aber ist  , weshalb auch   Nullstelle ist; analog aber auch   Zu bemerken ist, dass alle Werte   und   im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die Riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden  , wobei dann stets   bzw.   gilt.

Asymptotische VerteilungBearbeiten

Das Verteilungsmuster der Nullstellen entlang des kritischen Streifens ist nicht vollkommen zufällig. Ähnlich wie bei den Primzahlen, die auf den ersten Blick völlig willkürlich unter den natürlichen Zahlen verstreut sind, lässt sich auch hier eine einfache Funktion finden, die zumindest asymptotisch die Streuung darstellt und nachvollzieht. So kann man für eine gegebene Zahl   ein annäherndes Ergebnis auf die Frage finden, wie viele Nullstellen sich im Bereich zwischen der reellen Achse und der Geraden   werden finden lassen. Riemann gab in seiner Arbeit diese Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl   der Nullstellen innerhalb des Rechtecks   erfülle die asymptotische Äquivalenz

 

wobei der relative Fehler die Größenordnung   besitzt. Seinen Gedankengang begründete er über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

 

wobei   die Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Diese Aussage wurde jedoch erst über 50 Jahre nach Riemanns Veröffentlichung von Mangoldt bewiesen.[26] Riemanns Aussagen über die Verteilung der Nullstellen auf der kritischen Gerade sind jedoch wesentlich schwerer zu beweisen. Erst durch Arbeiten von Hardy, Littlewood, Selberg und Levinson im 20. Jahrhundert gelangen erste wichtige Einblicke und Erfolge.

Lage auf der kritischen GeradenBearbeiten

 
Godfrey Harold Hardy
 
Atle Selberg

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden   liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zunutze, dass für alle reellen Zahlenwerte   der Ausdruck

 

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass   für   unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass   unendlich viele Nullstellen auf   besitzt.[27] 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für hinreichend große Werte   die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment   mindestens   beträgt, wobei   eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf  .[28] Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt.

Anfang der 1970er Jahre konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss. Sein nur knapp dreiseitiger Beweis[29] wird als wichtiger Schritt in Richtung einer noch unbekannten Lösung der Riemannschen Vermutung gesehen.

Numerische Werte der frühen NullstellenBearbeiten

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise[30]

±k ±Im ρk ±k ±Im ρk
1 14,134725141734693790… 11 52,970321477714460644…
2 21,022039638771554993… 12 56,446247697063394804…
3 25,010857580145688763… 13 59,347044002602353079…
4 30,424876125859513210… 14 60,831778524609809844…
5 32,935061587739189690… 15 65,112544048081606660…
6 37,586178158825671257… 16 67,079810529494173714…
7 40,918719012147495187… 17 69,546401711173979252…
8 43,327073280914999519… 18 72,067157674481907582…
9 48,005150881167159727… 19 75,704690699083933168…
10 49,773832477672302181… 20 77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz …) ist bis heute nichts bekannt.[31]

Hadamard-ProduktentwicklungBearbeiten

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist so bedeutend, weil sie der Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt der Form

 

explizit zu rekonstruieren, wobei   eine meromorphe und nullstellenfreie Funktion darstellt. Im Falle der Zeta-Funktion ergibt sich für   die Funktion   und somit unter Verwendung der trivialen und nicht-trivialen Nullstellen:

 

Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gamma-Funktion   erhält man das Hadamard-Produkt,[32] benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in   konvergiert:

 

Eine etwas einfachere Form des Hadamard-Produktes ist

 

Besonders diese letzte Darstellung verdeutlicht, dass sich die  -Funktion im Prinzip komplett aus ihren Nullstellen und ihrer Singularität bei   konstruieren lässt. Dieses Produkt ist jedoch nur bedingt konvergent. Absolute Konvergenz ergibt sich, wenn man die Nullstellen „paarweise“ ordnet.   und   sind ein solches Paar. Also:

 

Wegen ihrer kleinen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch in der Praxis nicht als Grundlage für einen numerischen Berechnungsalgorithmus für die Zeta-Funktion geeignet.

Die Riemannsche VermutungBearbeiten

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Weitere Vergrößerungen des „nullstellenfreien Bereiches“ implizieren Restgliedabschätzungen im Primzahlsatz. Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden   liegen. Diese sogenannte Riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang von parallel zur imaginären Achse verlaufenden Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit Kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenz-Methoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf,   bzw.  , die man anschließend zur Interferenz bringt.[33]

Anwendung in der analytischen ZahlentheorieBearbeiten

Die Riemannsche Zeta-Funktion tritt in der analytischen Zahlentheorie in erster Linie im Rahmen der Klassifikation mittlerer Ordnungen zahlentheoretischer Funktionen auf, deren zugehörige Dirichlet-Reihen einen Zusammenhang zur Zeta-Funktion innehaben. Dabei macht man sich in erster Linie die guten analytischen Eigenschaften von   zunutze, wie komplexe Differenzierbarkeit. Hat man beispielsweise

 

mit der Teilerfunktion   gezeigt, so folgt mittels eines Taubersatzes für die mittlere Ordnung

 

dabei bezeichnet   die Euler-Mascheroni-Konstante. Ausgangspunkt können an dieser Stelle auch die Perronschen Formeln sein. Werden hingegen detailliertere Angaben zur Größenordnung gewünscht, müssen meistens feinere Methoden als Taubersätze gewählt werden, z. B. die Selberg-Delange-Methode, welche die komplexen Potenzen   der Zeta-Funktion verwendet. Damit sind (unter strengere Voraussetzungen als bei Taubersätzen) oft nicht-triviale Summenentwicklungen für Fehlerterme möglich.[34]

Hat man umgekehrt gewisse Informationen über Zahlen   gesammelt, so kann man diese in manchen Fällen auf die erzeugte Dirichlet-Reihe   anwenden, um so Informationen über deren Verhalten zu treffen. In diesem Kontext sei zum Beispiel auf die Mertenssche Vermutung verwiesen, die allerdings bereits widerlegt wurde.[35][36]

Im Folgenden werden einige wichtige Beispiele gegeben.

Zusammenhang zur PrimzahlverteilungBearbeiten

Der PrimzahlsatzBearbeiten

Wie bereits der 15-jährige Gauß vermutete, wächst die Anzahl aller Primzahlen   unter einer gegebenen Schranke   asymptotisch gleich wie der Ausdruck  . Es gilt also:

 

Dieser sogenannte Primzahlsatz wurde jedoch erst hundert Jahre später unabhängig von Hadamard und Poussin bewiesen. Dafür betrachtet man die sog. Mangoldt-Funktion:[37]

 

Der Primzahlsatz ist nun äquivalent zu der Aussage

 

Dies wurde von Tschebyschow gezeigt. Betrachtet man die von   erzeugte Dirichlet-Reihe, ergibt sich

 

Aus   für alle   folgt, dass die Funktion   auf dem ganzen Streifen   (außer im Punkt  ) holomorph ist, was wegen   den Einsatz eines Taubersatzes ermöglicht. Damit folgt   und der Primzahlsatz ist bewiesen.

Erstaunlicherweise ist im Beweis des Primzahlsatzes absolut entscheidend, dass die Zeta-Funktion auf der Geraden   keine Nullstellen besitzt. Bereits hier ist also zu erkennen, dass es einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Nullstellen der Zeta-Funktion gibt. In der Tat, durch die Angabe nullstellenfreier Gebiete lässt sich das Restglied   in   weiter verbessern.

Die Riemannsche R-FunktionBearbeiten

Die Zeta-Funktion taucht auch im Zusammenhang mit der Riemannschen  -Funktion auf. Diese schafft eine deutlich bessere Approximation der Primzahlfunktion   als der Integrallogarithmus. Ihre Definition lautet:

 

Es gilt für alle   die schnell konvergierende Reihendarstellung

 

Explizite Berechnung der PrimzahlfunktionBearbeiten

 
Approximation der Primzahlfunktion im Intervall   durch die ersten 500 Nullstellen. Der Index   in dieser Animation steht für die Anzahl der Nullstellenpaare, die in der obigen Summe eingesetzt werden.[38]

Aus der unbedingten Konvergenz des Euler-Produktes folgt unmittelbar, dass   auf der Halbebene   keine Nullstellen besitzt. Ferner gilt dort die Identität

 

woraus Riemann schließlich den für alle   gültigen, zahlentheoretisch sehr wichtigen Ausdruck

 

hervorbringen konnte. Hierbei bezeichnet   die Primzahlfunktion, die zählt, wie viele Primzahlen kleiner als   sind. Die Summe auf der linken Seite liefert für jede Primzahlpotenz   jeweils den Beitrag  , kann also mit   identifiziert werden. Über die nicht-trivialen Nullstellen kann der Wert der Primzahlfunktion   an der Stelle   exakt berechnet werden. Insbesondere ist eine Fehlerkorrektur bei Berechnungen mittels Primzahlsatz oder der Riemannschen  -Funktion möglich. Riemann führt die zahlentheoretische Funktion

 

ein (in seinem Artikel  , in anderer Literatur auch  ), wandelt sie um in

 

und kommt zu

 

wobei   den Integrallogarithmus und   die Möbiusfunktion bezeichnet. Bezüglich Konvergenz ist zu beachten, dass die Summe   die Nullstellen nach ihrer Konjugation paarweise addiert. Des Weiteren sind die Terme in der Summe als   zu verstehen (hier bezeichnet   die (komplexe) Integralexponentialfunktion), denn: Verwechslungen können bei der Auswertung von   über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus entstehen!

Zahlentheoretische FunktionenBearbeiten

Über Faltungen ergeben sich einige Zusammenhänge zu klassischen zahlentheoretischen Funktionen.

TeilerfunktionenBearbeiten

Sei   eine beliebige komplexe Zahl und   die verallgemeinerte Teilerfunktion. Dann gilt[39]

 

Für reellwertige   lässt sich daraus die mittlere Ordnung der Teilerfunktion bestimmen. Es gilt

 

Die verblüffende Identität

 

geht auf Ramanujan zurück.[40]

MöbiusfunktionBearbeiten

Mit der Möbiusfunktion erhält man eine Dirichlet-Reihe, die den Kehrwert der  -Funktion erzeugt. Es gilt dann:

 

Zur Erklärung dieses Zusammenhangs betrachtet man

 

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe, die sich dann definitionsgemäß über die Möbiusfunktion erstreckt.

Eulersche Phi-FunktionBearbeiten

Die Dirichlet-erzeugende Funktion für die Eulersche  -Funktion ist gegeben durch

 

Damit folgt unter anderem

 

Summe von QuadratenBearbeiten

Die Dirichlet-Reihe der Quadratsummen-Funktion  , die angibt, auf wie viele Arten eine natürliche Zahl   als Summe von   Quadraten ganzer Zahlen geschrieben werden kann, lässt sich ebenfalls auf die Riemannsche Zetafunktion überleiten. So erhält man beispielsweise zusammen mit der dirichletschen Betafunktion:[41]

 

Insbesondere lässt sich über diesen Ansatz zeigen, dass sich der Limes

 

einer festen Konstanten   nähert. Diese Sierpiński-Konstante (benannt nach Wacław Sierpiński) lässt sich in Abhängigkeit von der Kreiszahl, der Euler-Mascheroni-Konstante und logarithmierten Werten der Gammafunktion auch schreiben als:

 

Mittels eines Taubersatzes findet man außerdem

 

was jedoch auch mittels elementarer Geometrie (durch Zählen von Gitterpunkten in Kreisen mit dem Ursprung als Mittelpunkt) gezeigt werden kann!

Ähnliche Ausdrücke finden sich für 4 bzw. 8 Quadrate:[42]

 
 

Daraus folgt unter anderem unmittelbar der Satz von Jacobi.

Anwendung in der algebraischen Zahlentheorie und VerallgemeinerungenBearbeiten

Dirichletsche L-FunktionenBearbeiten

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine spezielle Dirichletsche L-Funktion. Sie korrespondiert zum sog. trivialen Charakter   für alle Werte  . Aus diesem Grunde ist sie zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, die sich mit der Struktur von Charakteren zu gewissen Gruppen befasst.

Verwandtschaft zur Dedekindschen Zeta-Funktion von ZahlkörpernBearbeiten

Der Zahlkörper  Bearbeiten

Im Falle   ist die Dedekindsche Zeta-Funktion   gerade die Riemannsche Zeta-Funktion. Insbesondere hängt diese mit den Primelementen in deren Ganzheitsring   zusammen.

Quadratische ZahlkörperBearbeiten

Ist   eine quadratische Erweiterung von   mit Diskriminante  , so hängt ihre dedekindsche Zeta-Funktion eng mit der Riemannschen Zeta-Funktion zusammen. Es gibt dann nämlich einen Dirichlet-Charakter   modulo  , sodass

 

wobei   die zu   gehörige Dirichletsche L-Funktion bezeichnet. Die Funktion   hat einen Pol erster Ordnung in   und erfüllt eine Funktionalgleichung.

Verwendet werden kann die dedekindsche Zetafunktion unter anderem zur Berechnung der Klassenzahl von  . Dafür wird die sogenannte Klassenzahlformel verwendet.

Ein wichtiger Spezialfall ist  . Die dazu korrespondierende Zeta-Funktion ist gegeben durch

 

wobei die Dirichletsche Betafunktion   zum Charakter   modulo 4 korrespondiert. Daraus ergeben sich relativ direkt Formeln für die Summe von zwei Quadraten.

KreisteilungskörperBearbeiten

Ist   der Körper der  -ten Einheitswurzeln, auch genannt Kreisteilungskörper, dann gilt

 

Das hintere Produkt durchläuft hierbei alle Charaktere modulo   mit Ausnahme des Hauptcharakters  , der nur die Werte 0 und 1 annimmt. Da sowohl   als auch   einfache Pole bei   besitzen, folgt schnell, dass   gilt für alle Charaktere. Eine Konsequenz dieser Aussage ist der Dirichletsche Primzahlsatz.[43]

Abelsche ErweiterungenBearbeiten

Im Falle, dass   eine Abelsche Erweiterung ist, ist der Quotient   eine ganze Funktion. D. h. gewissermaßen, dass die Riemannsche Zeta-Funktion in diesem Falle ein „Teiler von  “ ist. Dass dies auch für nicht-abelsche Erweiterungen richtig ist, ist Gegenstand tiefer zahlentheoretischer Vermutungen (Artinsche Vermutung).

Zusammenhänge zur Theorie der automorphen FormenBearbeiten

In der Theorie der für die Zahlentheorie wichtigen Modulformen taucht die Riemannsche Zeta-Funktion an einigen Stellen auf.

Zeta-Werte als Koeffizienten von EisensteinreihenBearbeiten

Für die Gewichte   sind die sog. Eisensteinreihen

 

Modulformen bezüglich der vollen Modulgruppe  . Als solche besitzen sie auf der oberen Halbebene eine Fourierentwicklung. Diese ist explizit gegeben durch

 

Unter Einsatz von Eulers Formel für positive, gerade ganzzahlige Funktionswerte kann jedoch die folgende, für die Zahlentheorie enorm wichtige, Normalisierung vorgenommen werden:

 

Die zu   zugehörige L-Funktion ist ferner gegeben durch

 

Dieses Prinzip verallgemeinert sich für Eisensteinreihen zu Kongruenzuntergruppen. Hier hängen die konstanten Koeffizienten mit Werten von L-Funktionen zu Dirichlet-Charakteren zusammen.

Beziehung zu nicht-holomorphen EisensteinreihenBearbeiten

Für komplexe Zahlen   mit   und   mit   konvergiert die Eisensteinreihe

 

absolut. Die dadurch definierte Funktion ist nicht-holomorph und zudem (für fixierte  ) invariant in   unter Wirkung der vollen Modulgruppe. Zudem lässt sie sich (für fixierte  ) in   meromorph in die gesamte Ebene fortsetzen mit einfachen Polen in   und  , es gilt die Funktionalgleichung

 

Diese Parallele zur Theorie der Zeta-Funktion lässt bereits einen Zusammenhang vermuten. Es gilt die Darstellung[44]

 

wobei   die Untergruppe der Translationen von   bezeichnet. Betrachtet man zudem die Fourierentwicklung

 

so gilt[45]

 

Nicht-holomorphe Eisensteinreihen, und damit auch die Zeta-Funktion selbst, spielen eine fundamentale Rolle bei der sogenannten Ranking-Selberg-Methode.[46]

Beziehung zur Jacobischen Theta-FunktionBearbeiten

Eine sehr wichtige Eigenschaft der Riemannschen Zeta-Funktion ist ihre Funktionalgleichung. Diese drückt sich am einfachsten über

 

aus und es ist zu bemerken, dass auf der rechten Seite erstaunlicherweise die komplexe Variable   einfach durch   ersetzt wird.

Es gibt mehrere Herleitungsvarianten zum Auffinden dieser Gleichung. Zwei verschiedene zeigte bereits Riemann. Eine davon schließt einen einfachen Spezialfall der Jacobischen Theta-Funktion direkt mit ein, nämlich  . Von Vorteil ist die Modifizierung  , es gilt  . Die Theta-Funktion ist dabei eine Modulform halbganzen Gewichts: Mit der Poissonschen Summenformel fand bereits Jacobi die Identität  , woraus sofort   folgt.[47]

Ausgangspunkt ist die Integraldarstellung

 

Der folgende Trick ist eine Standardumformung beim Beweis des Heckeschen Umkehrsatzes. Durch eine Aufspaltung des Integrals in die Intervalle   und  , wobei in letzteres die Substitution   vorgenommen wird,[48] folgt:

 

Das zweite Integral kann elementar berechnet werden:

 

Wie man leicht erkennt, ist die rechte Seite unter der Abbildung   unverändert, woraus schon die Funktionalgleichung folgt. Diese Argumentation ist gerechtfertigt, weil das Integral auf der rechten Seite nun für alle   existiert.[49]

Beukers’ Beweis der Irrationalität von  Bearbeiten

1987 konnte Frits Beukers die Irrationalität von   mit Hilfe der Theorie der Modulformen beweisen. Dafür betrachtete er die Funktion

 

die eine Modulform zum Gewicht 4 für die Kongruenzuntergruppe   ist. Die zu diesem   korrespondierende L-Funktion ist dann

 

Das Argument bezieht sich letztlich auf eine Technik, die Konvergenzradien von Umkehrfunktionen lokal injektiver, meromorpher Funktionen ausnutzt.[50] Nach heutigem Wissensstand lässt sich der Ansatz von Beukers jedoch nicht auf die Fälle   übertragen.

Beziehungen zu anderen speziellen FunktionenBearbeiten

Taylor-Koeffizienten der Kotangens- und Digamma-FunktionBearbeiten

In der Analysis tritt die Zeta-Funktion unter anderem als Koeffizientenfolge in den Taylor-Reihen des Kotangens und der Digamma-Funktion auf.

Die erzeugende Funktion der Folge   mit   für alle   ist:

 

wobei   hier die Digamma-Funktion und   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.[51]

Summiert man außerdem in einer Potenzreihe, die die Zetafunktionswerte als Koeffizienten hat, nur über die geradzahligen Exponenten bzw. Folgeglieder, so ergibt sich

 

ebenfalls mit Konvergenzradius 1.[51] Diese Identität bietet einen Beweisansatz für Eulers Formel für  .

Beziehung zur PolygammafunktionBearbeiten

Espinosa und Moll haben 2003 die Relation

 

mit der Digammafunktion   und der auf komplexe Ordnungen   verallgemeinerten Polygammafunktion   aufgezeigt.[52] Unter Ausnutzung der Beziehung

 

zur hurwitzschen Zeta-Funktion und nach Einsetzen in die allgemeinere Relation

 

gelangt man zu

 

Damit sind die Nullstellen der Zeta-Funktion Lösungen   der Gleichung

 

Wegen der „Multiplikationsformel“

 

lässt sich für  ,   sogar die allgemeinere Beziehung

 

herleiten.

Beziehung zur PrimzetafunktionBearbeiten

Für alle   mit   gilt

 

wobei   mit

 

die Primzetafunktion bezeichnet.[53] Mit Hilfe von Möbius-Inversion lässt sich daraus eine Möglichkeit ableiten, die Primzetafunktion schnell aus einer Reihe über logarithmierte Zeta-Funktionen zu gewinnen:

 

Dies ermöglicht eine (analytische) Fortsetzung der Primzetafunktion in elementare Bereiche der Halbebene  , in denen alle Funktionen   mit   holomorph sind. Außerdem kann die Formel für eine schnelle numerische Berechnung der Primzetafunktion herangezogen werden. Zum Beispiel fand Henri Cohen innerhalb weniger Millisekunden:[54]

 

Ferner folgt aus   für  , dass die Reihe   der reziproken Primzahlen divergiert.

Sonstiges AuftretenBearbeiten

In der AnalysisBearbeiten

Es gibt eine reichhaltige Fülle an unendlichen Reihen mit besonderen Grenzwerten, die die Zeta-Funktion beinhalten. Zwei Beispiele für Reihen mit rationalen Grenzwerten sind:

 
 

Zusammen mit der Euler-Mascheroni-Konstanten   hat man:

 
 
 
 

Auch für die catalansche Konstante   existieren solche Reihen:[55]

 

In der WahrscheinlichkeitstheorieBearbeiten

Die Zeta-Funktion spielt eine zentrale Rolle bei der sogenannten Zipf-Verteilung. Es gilt für eine Zufallsvariable  :

 

Auch einige Wahrscheinlichkeitsgesetze aus der Zahlentheorie stehen in engem Zusammenhang zu der Zeta-Funktion. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, und ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte Zahlen teilerfremd sind, ist gleich

    (Folge A059956 in