In der Analysis ist die logarithmische Ableitung einer differenzierbaren Funktion , die keine Nullstellen besitzt, als der Quotient der Ableitung einer Funktion und der Funktion selbst definiert; formal

Auf gleiche Weise lässt sich der Begriff auch für von Null verschiedene meromorphe Funktionen definieren (hier brauchen keine Nullstellen ausgeschlossen zu werden, weil der Quotient für meromorphe Funktionen wohldefiniert ist). Für reelle Funktionen mit positiven Werten stimmt die logarithmische Ableitung nach der Kettenregel mit der Ableitung der Funktion überein; daher der Name. Es gilt also

.

Daraus folgt

Rechenregeln

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Die Bedeutung des Begriffes liegt in der Formel für die logarithmische Ableitung eines Produktes:

 ,

allgemein

 .

Als Abwandlung zur Produktregel gilt also

 .

Analog gilt

 

und

 .

Für die logarithmische Ableitung der Potenzfunktion erhält man etwa

 .

Diese Formeln folgen aus der Leibnizregel und gelten deshalb auch in allgemeinerem Kontext, beispielsweise bei der (formalen) Ableitung von Polynomen oder rationalen Funktionen über einem beliebigen Grundkörper.

Beispiele

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Die logarithmische Ableitung von Funktionen kann meistens mit den normalen Differentiationsregeln bestimmt werden.

    Anmerkungen
     
     
     
   
   
   
   
    Die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion ist die Digamma-Funktion.

Funktionentheorie

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Es sei   eine meromorphe Funktion mit einer Nullstelle der Ordnung   oder einem Pol der Ordnung   an einer Stelle  . Dann lässt sich   als

 

mit einer in einer Umgebung von   holomorphen Funktion   mit   schreiben. Es gilt

 .

Wegen   ist   in einer Umgebung von   holomorph. Das Residuum von   an der Stelle   entspricht also gerade der Nullstellenordnung von   an der Stelle  . Dieser Zusammenhang wird im Prinzip vom Argument ausgenutzt.

Anwendung

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Lässt sich eine Funktion   darstellen als

 

mit   und   als Konstanten, so ergibt sich die Ableitung zu

 

Dieser Umstand kann bei praktischen Anwendungen wie der Handrechnung genutzt werden, um manche Ableitungsregeln kompakt zusammenzufassen: So ergibt sich beispielsweise bei den Faktoren  ,  ,   die Produktregel, mit den Faktoren  ,  ,   die Quotientenregel und mit  ,   die Reziprokenregel.

Literatur

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  • Richard P. Feynman, Michael A. Gottlieb, Ralph Leighton: Feynman’s Tips on Physics: A Problem-Solving Supplement to the Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley, San Francisco, 2006, ISBN 0-8053-9063-4, Kapitel 1–4.