Quotientenregel

Regel der Differentialrechnung

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. In Kurzschreibweise lautet sie

.

Somit führt die Quotientenregel die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen   und   von einem Intervall   in die reellen oder komplexen Zahlen an einer Stelle   mit   differenzierbar, dann ist auch die Funktion   mit

 

an der Stelle   differenzierbar und es gilt

 .

Beispiel

Bearbeiten

Ist  , so erhält man für   durch Anwendung der Quotientenregel

 .

Ausmultipliziert ergibt sich

 .

Herleitung

Bearbeiten
 
Quotientenregel

Der Quotient   kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten   und   sind (siehe Abbildung). Wenn   um   anwächst, ändert sich   um   und   um  . Die Änderung der Steigung ist dann

 

Dividiert man durch  , so folgt

 .

Bildet man nun Limes  , so folgt

 .

Weitere Herleitungen

Bearbeiten

Gegeben sei   Nach der Produktregel gilt:

 

Mit der Kehrwertregel

 

folgt

 

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung  . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass   überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass   existiert.

 

folglich:

 

Literatur

Bearbeiten

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das die Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

Bearbeiten