Quotientenregel

Regel der Differentialrechnung

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen und von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle mit differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

an der Stelle differenzierbar und es gilt:

.

In Kurzschreibweise:

HerleitungBearbeiten

Der Quotient   kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

 
 

Dividiert man durch Δx, so folgt

 

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

 

wie behauptet.

BeispielBearbeiten

Verwendet man die Kurznotation   so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion:

 

Ausmultipliziert ergibt sich  

Weitere HerleitungenBearbeiten

Gegeben sei   Nach der Produktregel gilt:

 

Nach der Kehrwertregel (ergibt sich z. B. direkt oder mit Hilfe der Kettenregel)

 

folgt:

 

Eine alternative Herleitung gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung  . Allerdings wird hierbei implizit vorausgesetzt, dass   überhaupt eine Ableitung besitzt, das heißt, dass   existiert.

 

folglich:

 

LiteraturBearbeiten

Die Quotientenregel für Funktionen wird in fast jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt. Einige konkrete Beispiele sind:

WeblinksBearbeiten