Meromorphe Funktion

spezielle Klasse komplexwertiger Funktionen mit Definitionslücken

Meromorphie ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden.

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert einer holomorphen Funktion an einer Nullstelle von eine Definitionslücke hat und somit dort auch nicht komplex differenzierbar ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist ein Gebiet von , so bildet die Menge der auf meromorphen Funktionen einen Körper.

DefinitionBearbeiten

Auf den komplexen ZahlenBearbeiten

Es sei   eine nichtleere offene Teilmenge der Menge   der komplexen Zahlen und   eine weitere Teilmenge von  , die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion   heißt meromorph, wenn sie für Werte aus   definiert und holomorph ist und für Werte aus   Pole hat.   wird als Polstellenmenge von   bezeichnet.

Auf einer riemannschen FlächeBearbeiten

Sei   eine riemannsche Fläche und   eine offene Teilmenge von  . Unter einer meromorphen Funktion auf   verstehen wir eine holomorphe Funktion  , wobei   eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Menge   hat nur isolierte Punkte.
  • Für jeden Punkt   gilt
 .

Die Punkte aus der Menge   werden Pole von   genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf   wird mit   bezeichnet und bildet, falls   zusammenhängend ist, einen Körper. Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls   eine Teilmenge derer ist.

BeispieleBearbeiten

  • Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge leer ist.
  • Die Kehrwertfunktion   ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist  . Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen
     
meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms.
  • Für jede meromorphe Funktion   ist ihr Kehrwert   ebenfalls meromorph.
  • Die Funktion   ist nicht auf ganz   (und auf keiner Umgebung von  ) meromorph, da   keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität dieser Funktion ist.

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: Satz von Mittag-Leffler, Residuensatz, Satz von Riemann-Roch.

LiteraturBearbeiten