Hurwitzsche Zeta-Funktion

mathematische Funktion

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion (nach Adolf Hurwitz) ist eine der vielen bekannten Zeta-Funktionen, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt.

Die formale Definition für komplexe lautet

Die Reihe konvergiert absolut und kann zu einer meromorphen Funktion erweitert werden für alle

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist dann

Analytische FortsetzungBearbeiten

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion kann zu einer meromorphen Funktion fortgesetzt werden, sodass sie für alle komplexen   definiert ist. Bei   liegt ein einfacher Pol mit Residuum 1 vor.

Es gilt dann

 

unter Verwendung der Gammafunktion   und der Digammafunktion  .

ReihendarstellungenBearbeiten

Helmut Hasse fand 1930[1] die Reihendarstellung

 

für   und  .

Laurent-EntwicklungBearbeiten

Die Laurent-Entwicklung um   lautet:

 

mit  .   sind die Verallgemeinerten Stieltjes-Konstanten:

 

für  

Fourier-ReiheBearbeiten

 

mit  .[2]

IntegraldarstellungBearbeiten

Die Integraldarstellung lautet

 

wobei   und  

Hurwitz-FormelBearbeiten

Die Formel von Hurwitz ist eine Darstellung der Funktion für   und   Sie lautet:[3]

 

wobei

 

Dabei bezeichnet   den Polylogarithmus.

FunktionalgleichungBearbeiten

Für alle   und   gilt

 

WerteBearbeiten

NullstellenBearbeiten

Da sich für   und   die Riemannsche Zeta-Funktion bzw. diese multipliziert mit einer einfachen Funktion von   ergibt, führt dies zu der komplizierten Nullstellenberechnung der Riemannschen Zeta-Funktion mit der Riemannschen Vermutung.

Für diese   hat die Hurwitzsche Zeta-Funktion keine Nullstellen mit einem Realteil größergleich 1.

Für   und   gibt es dagegen Nullstellen für jeden Steifen   mit einem positiv-reellen  . Dies wurde für rationale und nicht-algebraische-irrationale   von Davenport und Heilbronn[4] bewiesen; für algebraische irrationale   von Cassels.[5]

Rationale ArgumenteBearbeiten

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion tritt etwa im Zusammenhang mit den Euler-Polynomen   auf:[6]

 

und

 

Ferner gilt

 

mit  . Dabei werden   und   wie folgt mit der legendreschen Chi-Funktion   definiert:

 

bzw.

 

WeitereBearbeiten

Es gilt (Auswahl):[7]

 
 
 
 
 
 
 

(Riemannsche Zeta-Funktion, Catalansche Konstante)

AbleitungenBearbeiten

Es gilt

 

mit   sowie   und  [8].

Die Ableitungen nach   ergeben sich zu

 

für   und  [9] unter Verwendung des Pochhammer-Symbol  .

Beziehungen zu anderen FunktionenBearbeiten

Bernoulli-PolynomeBearbeiten

Die im Abschnitt Hurwitz-Formel definierte Funktion   verallgemeinert die Bernoulli-Polynome  :

 

Alternativ kann man sagen, dass

 

Für   ergibt das

 

Jacobische Theta-FunktionBearbeiten

Mit  , der Jacobischen Theta-Funktion gilt

 

wobei   und  .

Ist   ganz, vereinfacht sich dies zu

 

(  mit einem Argument steht für die Riemannsche Zeta-Funktion)

PolygammafunktionBearbeiten

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion verallgemeinert die Polygammafunktion auf nicht-ganze Ordnungen  :

 

mit der Euler-Mascheroni-Konstanten  .[10]

AuftretenBearbeiten

Die Hurwitzschen Zeta-Funktionen finden an verschiedenen Stellen Anwendung, nicht nur in der Zahlentheorie. Sie tritt bei Fraktalen und dynamischen Systemen ebenso wie im zipfschen Gesetz auf.

In der Teilchenphysik kommt sie in einer Formel von Julian Schwinger[11] vor, die ein genaues Resultat für die Paarbildungs-Rate von in der Dirac-Gleichung beschriebenen Elektronen in Feldern gibt.

Spezialfälle und VerallgemeinerungenBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der Hurwitzschen Zeta-Funktion bietet

 ,

so dass

 

Diese Funktion wird als Lerchsche Zeta-Funktion bezeichnet.

Die Hurwitzsche Zeta-Funktion lässt sich durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausdrücken:[12]

 

mit  

Außerdem gilt mit der Meijerschen G-Funktion:[13]

 

mit  .

Literatur und WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Helmut Hasse: Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe In: Mathematische Zeitschrift. Band 32, 1930, S. 458–464.
  2. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/06/03/01/01/0001/
  3. Eric W. Weisstein: Hurwitz's Formula. In: MathWorld (englisch).
  4. H. Davenport und H. Heilbronn: On the zeros of certain Dirichlet series. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 181–185
  5. J. W. S. Cassels: Footnote to a note of Davenport and Heilbronn. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 36, 1961, S. 177–184
  6. Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski: Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments. In: Mathematics of Computation. Band 68, 1999, S. 1623–1630.
  7. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/03/ShowAll.html
  8. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/01/01/0001/
  9. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/20/02/02/01/0001/
  10. Oliver Espinosa and Victor H. Moll: A Generalized Polygamma Function auf arXiv.org e-Print archive 2003.
  11. J. Schwinger: On gauge invariance and vacuum polarization. In: Physical Review. Band 82, 1951, S. 664–679.
  12. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/01/02/01/
  13. http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/26/02/01/01/