Tangens und Kotangens

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels $x$ wird mit $\tan x$ bezeichnet, der Kotangens des Winkels $x$ mit $\cot x$. In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen $\operatorname {tg} x$ für den Tangens und $\operatorname {ctg} x$ für den Kotangens.

Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Definition

Historisch/geometrisch

Definition am Einheitskreis:
${\overline {DT}}=\tan b\ ;\ {\overline {EK}}=\cot b$

Ersten Gebrauch der Tangensfunktion machte der persische Mathematiker Abu al-Wafa (940–998). Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

${\overline {DT}}=\tan b\qquad \qquad {\overline {EK}}=\cot b$

Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels $\alpha$ das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

${\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {l_{\text{Gegenkathete}}}{l_{\text{Ankathete}}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\\\cot \alpha &={\frac {l_{\text{Ankathete}}}{l_{\text{Gegenkathete}}}}={\frac {b}{a}}={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\end{aligned}}$

Daraus folgt unmittelbar:

${\begin{aligned}\cot \alpha &={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\csc \alpha }{\sec \alpha }}\\\tan \alpha &={\frac {1}{\cot \alpha }}={\frac {\sec \alpha }{\csc \alpha }}\end{aligned}}$ (siehe auch Sekans und Kosekans)

sowie

$\tan \alpha =\cot \beta =\cot(90^{\circ }-\alpha )$

Analytische Definition

Sinus und Kosinus können auch auf einer axiomatischen Basis behandelt werden, weshalb für den Tangens und Kotangens das Gleiche gilt. Komplexe Argumente werden durch analytische Definition erlaubt. Dabei gilt eine Surjektivität von Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion. Daraus resultierend sind Tangens und Kotangens als komplexwertige Funktion ebenso surjektiv.

Beziehung zu Taylorreihen

Tangens und Kotangens können als Quotienten von je zwei Taylorreihen dargestellt werden. Beruhend auf diesen Reihen lassen sich auch Arkustangens und Arkuskotangens als Quotienten von je zwei Taylorreihen darstellen (siehe Reihenentwicklung).

Beziehung zur Exponentialfunktion

Tangens und Kotangens sind als Trigonometrische Funktionen eng mit der Exponentialfunktion verbunden, wie auch der Sinus, Kosinus, Sekans und Kosekans, wobei aus

${\begin{aligned}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{k}}{k!}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l}}{(2l)!}}+\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(\mathrm {i} x)^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=\underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l}}{(2l)!}}} _{\cos x}+\mathrm {i} \underbrace {\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {x^{2l+1}}{(2l+1)!}}} _{\sin x}\\\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}&=\cos x+\mathrm {i} \sin x\\\rightarrow \sin x&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2\mathrm {i} }}\rightarrow \csc x={\frac {2\mathrm {i} }{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}\\\rightarrow \cos x&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}\rightarrow \sec x={\frac {2}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}\\\end{aligned}}$

für den Tangens mit $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ und Kotangens mit $\cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}$

${\begin{aligned}\tan x&={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}}\\\cot x&={\frac {\mathrm {i} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}{\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}}\\\end{aligned}}$

resultiert.

Formal – mit Definitions- und Wertebereich

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

$\tan \colon D_{\tan }\to W$ mit $\tan x:={\frac {\sin x}{\cos x}}$

definiert werden, wobei der Wertebereich $W$ je nach Anwendung die reellen Zahlen $\mathbb {R}$ oder die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ sind. Um zu verhindern, dass der Nenner $\cos x$ Null wird, werden beim Definitionsbereich $D_{\tan }$ die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

$D_{\tan }=\mathbb {R} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}$

im Reellen bzw.

$D_{\tan }=\mathbb {C} \setminus {\Big \{}k\pi +{\frac {\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}$

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

$\cot \colon D_{\cot }\to W$ mit $\cot x:={\frac {\cos x}{\sin x}}$

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

$D_{\cot }=\mathbb {R} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}$

im Reellen bzw.

$D_{\cot }=\mathbb {C} \setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb {Z} \}$

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner $\sin x$ ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von $\tan$ und $\cot$

$\mathbb {C} \setminus {\Big \{}{\frac {k\pi }{2}}\;{\Big |}\;k\in \mathbb {Z} {\Big \}}$

gilt

$\cot x={\frac {1}{\tan x}}.$

Eigenschaften

Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

Periodizität

Der Tangens und der Kotangens sind periodische Funktionen mit der Periode $\pi$, es gilt also $\tan(x+\pi )=\tan x$.

Monotonie

Der Tangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton steigend.
Der Kotangens ist in jedem Intervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Polstellen streng monoton fallend.

Symmetrien

Tangens und Kotangens sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

$\tan(-x)=-\tan x$

$\cot(-x)=-\cot x$

Nullstellen

Tangens:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$

Polstellen

Tangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$

Wendestellen

Tangens:	$x=n\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$
Kotangens:	$x=\left({\frac {1}{2}}+n\right)\cdot \pi \,;\quad n\in \mathbb {Z}$

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber weder Sprungstellen noch Extrema.

Differenzierbarkeit

Tangens und Kotangens sind beliebig oft differenzierbar.

	Tangens	Kotangens
$f$	$\tan x$	$\cot x$
$f'$	$\sec ^{2}x$	$-\csc ^{2}x$
$f''$	$2\sec ^{2}x\tan x$	$2\csc ^{2}x\cot x$
$f'''$	$4\sec ^{2}x\tan ^{2}x+2\sec ^{4}x$	$-2\csc ^{2}x\left(\csc ^{2}x+2\cot ^{2}x\right)$

Wichtige Funktionswerte

Tangens	Kotangens	Ausdruck	num. Wert
$\tan 0^{\circ }$	$\cot 90^{\circ }$	$0$	0
$\tan 15^{\circ }$	$\cot 75^{\circ }$	$2-{\sqrt {3}}$	0,2679491…
$\tan 18^{\circ }$	$\cot 72^{\circ }$	${\sqrt {1-\textstyle {\frac {2}{5}}{\sqrt {5}}}}$	0,3249196…
$\tan 22{,}5^{\circ }$	$\cot 67{,}5^{\circ }$	${\sqrt {2}}-1$	0,4142135…
$\tan 30^{\circ }$	$\cot 60^{\circ }$	$1/{\sqrt {3}}$	0,5773502…
$\tan 36^{\circ }$	$\cot 54^{\circ }$	${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$	0,7265425…
$\tan 45^{\circ }$	$\cot 45^{\circ }$	$1$	1
$\tan 60^{\circ }$	$\cot 30^{\circ }$	${\sqrt {3}}$	1,7320508…
$\tan 67{,}5^{\circ }$	$\cot 22{,}5^{\circ }$	${\sqrt {2}}+1$	2,4142135…
$\tan 75^{\circ }$	$\cot 15^{\circ }$	$2+{\sqrt {3}}$	3,7320508…
$\lim _{\alpha \nearrow 90^{\circ }}\tan \alpha$	$\lim _{\alpha \searrow 0^{\circ }}\cot \alpha$	$+\infty \,$	Polstelle

Umkehrfunktionen

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man folgende Bijektionen:

Tangens

$\tan \colon \left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[\to \mathbb {R}$

Die Umkehrfunktion

$\arctan \colon \mathbb {R} \to \left]-{\frac {\pi }{2}},\,{\frac {\pi }{2}}\right[$

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens

$\cot \colon ]0,\,\pi [\to \mathbb {R}$

Die Umkehrfunktion

$\operatorname {arccot} \colon \mathbb {R} \to ]0,\,\pi [$

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Asymptoten

Aus den einseitigen Grenzwerten

$\lim _{x\,\uparrow \,\pi /2}\tan x=+\infty$   und $\lim _{x\,\downarrow \,-\pi /2}\tan x=-\infty$

resp.

$\lim _{x\downarrow 0}\cot x=+\infty$   und   $\lim _{x\uparrow \pi }\cot x=-\infty$

leiten sich die Grenzwerte

$\lim _{y\to +\infty }\arctan y={\tfrac {\pi }{2}}$   und $\lim _{y\to -\infty }\arctan y=-{\tfrac {\pi }{2}}$

resp.

$\lim _{y\to +\infty }\operatorname {arccot} y=0$   und   $\lim _{y\to -\infty }\operatorname {arccot} y=\pi$

her. Somit kann man nach der Einschränkung auf die Intervalle $\left]-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right[$   resp.   $]0,\,\pi [$ die Definitionsbereiche wenigstens um die Endpunkte $-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}$ resp. $0,\,\pi$ der Intervalle wieder erweitern und unter Anpassung der Wertebereiche die beiden Funktionen stetig fortsetzen zu

${\widetilde {\tan }}\colon \left[-{\tfrac {\pi }{2}},\,{\tfrac {\pi }{2}}\right]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

resp.

${\widetilde {\cot }}\colon [0,\,\pi ]\to {\overline {\mathbb {R} }}$

mit ${\overline {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$ als den erweiterten reellen Zahlen.

Die so erweiterten Funktionen sind ebenfalls stetig umkehrbar.

Reihenentwicklung

Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)

Summenreihen

Tangens

Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x=0$ (Maclaurinsche Reihe) lautet für $|x|<{\tfrac {\pi }{2}}\colon$

${\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\cdot 2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)\cdot B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}\\&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+{\frac {62}{2835}}x^{9}+{\frac {1382}{155925}}x^{11}+\dotsb \end{aligned}}$

Dabei sind mit $B_{n}$ die Bernoulli-Zahlen und mit $\lambda (x)$ die Dirichletsche Lambda-Funktion bezeichnet.

Aus der Reihendarstellung folgt für $0<x<{\tfrac {\pi }{2}}$:

1. $\tan x>x$ und
2. ${\frac {\tan x}{x}}$ ist streng monoton steigend mit $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$.

Ersetzt man in der Reihendarstellung $x$ durch ${\tfrac {1}{x}}$, ergibt sich für $x>{\tfrac {2}{\pi }}$:

$x\tan {\tfrac {1}{x}}$ ist streng monoton fallend und $\lim _{x\to \infty }x\tan {\tfrac {1}{x}}=1$.

Kotangens

Die Laurent-Reihe lautet für $0<|x|<\pi$

${\begin{aligned}\cot x&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\\&={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}-{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}-{\frac {2}{93555}}x^{9}-\dotsb \end{aligned}}$

Damit hat man für ${\frac {1}{x}}-\cot x$ im Konvergenzbereich $-\pi <x<\pi$ die Taylor-Reihe

${\frac {1}{x}}-\cot x=-\mathrm {i} \,L(\mathrm {i} x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{\pi ^{2n}}}\cdot \zeta (2n)\cdot x^{2n-1}$,

wobei $L$ die Langevin-Funktion bezeichnet. Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für $x\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z}$

${\begin{aligned}\pi \cot \pi x&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+k}}+{\frac {1}{x-k}}\right)\\&={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{x^{2}-k^{2}}}.\end{aligned}}$

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens stammt von Leonhard Euler (§ 178 Introductio in analysin infinitorum, 1748) und wurde als eines seiner schönsten Resultate bezeichnet. Ein einfacher Beweis benutzt den Herglotz-Trick. Eine Folgerung aus der Formel ist die Ableitung der Werte der Riemannschen Zetafunktion an den geraden natürlichen Zahlen.

Zentralbinomialkoeffizient und Produktreihen

Die Tangensfunktion lässt sich für alle komplexen Zahlen $x\in \mathbb {C}$ durch den Zentralbinomialkoeffizienten $\operatorname {CBC}$ ausdrücken

$\tan(\pi \,x)={\frac {\pi \,x\,(1-x)}{2-4\,x}}\operatorname {CBC} (x)\operatorname {CBC} (1-x)$,

und die Kotangensfunktion durch

$\cot(\pi \,x)={\frac {\pi \,(1-2\,x)\,(1+2\,x)}{16\,x}}\operatorname {CBC} {\biggl (}{\frac {1}{2}}-x{\biggr )}\operatorname {CBC} {\biggl (}{\frac {1}{2}}+x{\biggr )}$.

Der Zentralbinomialkoeffizient hat folgende gleichwertige Definitionen:

$\operatorname {CBC} (x)={2x \choose x}={\frac {(2x)!}{(x!)^{2}}}={\frac {\Pi (2x)}{\Pi (x)^{2}}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{2}{\biggl (}1+{\frac {2x}{n}}{\biggr )}^{-1}{\biggr ]}$.

Die Fakultätsfunktion (auch Gaußsche Pifunktion genannt) ist definiert durch die Produktreihe:

$x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}^{-1}\exp {\biggl (}{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}$

mit $\gamma$ als der Euler-Mascheroni-Konstanten.

Ableitung

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tan x=1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\cot x=-1-\cot ^{2}x=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x$

Die $n$-ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\tan x={\frac {\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{n}\,\psi _{n}({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}$

${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\cot x={\frac {(-1)^{n}\,\psi _{n}(1-{\tfrac {x}{\pi }})-\psi _{n}({\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{n+1}}}$

Stammfunktionen

Tangens

$\int \tan x\,\mathrm {d} x=-\ln |{\cos x}|+C$    mit   $x\neq (2k+1){\frac {\pi }{2}}$   $(k\in \mathbb {Z} )$

Mithilfe der Logarithmengesetze lässt sich die Stammfunktion $-\ln |{\cos x}|$ wie folgt darstellen:

$-\ln |{\cos x}|=\ln |(\cos x)^{-1}|=\ln \left|{\frac {1}{\cos x}}\right|=\ln |\sec x|$

Dabei bezeichnet $\sec x$ den Sekans.

Kotangens

$\int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sin x}|+C$    mit   $x\neq k\pi$   $(k\in \mathbb {Z} )$

Komplexes Argument

$\tan(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {\sin(2x)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)+\cosh(2y)}}$   mit $x,y\in \mathbb {R}$

$\cot(x+\mathrm {i} \!\cdot \!y)={\frac {-\sin(2x)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}+\mathrm {i} \;{\frac {\sinh(2y)}{\cos(2x)-\cosh(2y)}}$   mit $x,y\in \mathbb {R}$

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)Tangens

Die Auflösung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten

${\frac {1}{\sin ^{2}x}}=1+\cot ^{2}x$

${\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x$

nach $\sin x$ bzw. $\cos x$ ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:

$\sin x={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}}$ für $0<x\leq {\tfrac {\pi }{2}}$

$\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $0\leq x<{\tfrac {\pi }{2}}$

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz $\mathbb {R}$ lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion $x\mapsto \lfloor x\rfloor$ oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

$\sin x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}\;={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;2k\pi <x<(2k+1)\pi \\{\frac {-1}{\sqrt {1+\cot ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(2k-1)\pi <x<2k\pi \\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=k\pi \end{cases}}$

$\cos x=\lim _{t\to x}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}{\sqrt {1+\tan ^{2}t}}}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k-1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+1){\frac {\pi }{2}}\\{\frac {-1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}},&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;(4k+1){\frac {\pi }{2}}<x<(4k+3){\frac {\pi }{2}}\\0,&{\text{wenn }}\exists k\in \mathbb {Z} \colon \;x=(2k+1){\frac {\pi }{2}}\end{cases}}$

Rationale Parametrisierung

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist $t=\tan {\frac {\alpha }{2}}$, so ist

$\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}},\quad \cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\quad \tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}.$

Insbesondere ist

$\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes $(-1,0)$ (der dem Parameter $t=\infty$ entspricht). Einem Parameterwert $t$ entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von $(-1,0)$ und $(1,2t)$ mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Additionstheoreme

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten:

$\tan(x\pm y)={\frac {\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}}\,,\qquad \cot(x\pm y)={\frac {\cot x\cot y\mp 1}{\cot y\pm \cot x}}$

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel:

$\tan 2x={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}\,,\qquad \cot 2x={\frac {\cot ^{2}x-1}{2\cot x}}$

Tangenssummen und Tangensdifferenzen

Definitionen der Tangensoperatoren

Zum Zwecke der vereinfachten Schreibweise und für eine vielseitige Anwendung wurden die Tangenssumme und die Tangensdifferenz eingeführt:

$a\oplus b=\tan {\bigl [}\arctan(a)+\arctan(b){\bigr ]}={\frac {a+b}{1-ab}}$

$c\ominus d=\tan {\bigl [}\arctan(c)-\arctan(d){\bigr ]}={\frac {c-d}{1+cd}}$

Hierbei stehen die einzelnen Buchstaben für die Tangenswerte.

Mit der Verkettung der Theoreme kann diese Fortsetzung für drei Tangenssummanden durchgeführt werden:

$p\oplus q\oplus r=\tan {\bigl [}\arctan(p)+\arctan(q)+\arctan(r){\bigr ]}={\frac {p+q+r-pqr}{1-pq-pr-qr}}$

Und für vier Tangenssummanden sieht die Tangenssumme so aus:

$p\oplus q\oplus r\oplus s={\frac {p+q+r+s-pqr-pqs-prs-qrs}{1-pq-pr-ps-qr-qs-rs+pqrs}}$

Über diese Muster kann ebenso erklärt werden, warum die Vervielfachungstheoreme des Tangens die Binomialkoeffizienten in den Zählern und Nennern der Bruchausdrücke enthalten:

$\tan {\bigl [}3\arctan(x){\bigr ]}={\frac {3x-x^{3}}{1-3x^{2}}}$ $\tan {\bigl [}4\arctan(x){\bigr ]}={\frac {4x-4x^{3}}{1-6x^{2}+x^{4}}}$ $\tan {\bigl [}5\arctan(x){\bigr ]}={\frac {5x-10x^{3}+x^{5}}{1-10x^{2}+5x^{4}}}$ $\tan {\bigl [}6\arctan(x){\bigr ]}={\frac {6x-20x^{3}+6x^{5}}{1-15x^{2}+15x^{4}-x^{6}}}$ $\tan {\bigl [}7\arctan(x){\bigr ]}={\frac {7x-35x^{3}+21x^{5}-x^{7}}{1-21x^{2}+35x^{4}-7x^{6}}}$

Ein paar sehr bekannte Rechenbeispiele sollen für die Tangensaddition und die Tangenssubtraktion angeführt werden:

Tangentielle Gegenstücke miteinander tangensaddiert ergeben 1:

${\frac {1}{2}}\oplus {\frac {1}{3}}=1$

${\frac {1}{3}}\oplus {\frac {1}{7}}={\frac {1}{2}}$

${\frac {1}{3}}\oplus {\frac {1}{3}}\oplus {\frac {1}{7}}=1$

Tangentielle Gegenstücke haben die Eigenschaft, dass ihre Nachfolger miteinander multipliziert stets den Wert 2 ergeben.

Kehrwerte von zueinander benachbarten Fibonacci-Zahlen stehen über Tangensdifferenzen miteinander in Beziehung:

${\frac {1}{3}}\ominus {\frac {1}{5}}={\frac {1}{8}}$

${\frac {1}{8}}\ominus {\frac {1}{13}}={\frac {1}{21}}$

${\frac {1}{21}}\ominus {\frac {1}{34}}={\frac {1}{55}}$

Auch sehr bekannt ist die folgende Formel, mit welcher eine sehr scharf konvergierende Reihe für die Kreiszahl erstellt werden kann:

${\frac {1}{5}}\oplus {\frac {1}{5}}\oplus {\frac {1}{5}}\oplus {\frac {1}{5}}\ominus {\frac {1}{239}}=1$

Anwendung bei elliptischen Funktionen

Sehr viele Zusammenhänge bei elliptischen Funktionen können stark vereinfacht über die Tangenssumme und die Tangensdifferenz dargestellt werden. Im Folgenden sollen ein paar Beispiele für diese vereinfachten Darstellungen exemplarisch beschrieben beziehungsweise genannt werden:

Theoreme der Lemniskatischen Funktionen sl und cl sind Tangensbilanzen aus Produkten von jeweils zwei dieser lemniskatischen Funktionen:

$\operatorname {sl} (x+y)=\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (y)\oplus \operatorname {cl} (x)\operatorname {sl} (y)$	$\operatorname {cl} (x+y)=\operatorname {cl} (x)\operatorname {cl} (y)\ominus \operatorname {sl} (x)\operatorname {sl} (y)$
$\operatorname {sl} (x-y)=\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (y)\ominus \operatorname {cl} (x)\operatorname {sl} (y)$	$\operatorname {cl} (x-y)=\operatorname {cl} (x)\operatorname {cl} (y)\oplus \operatorname {sl} (x)\operatorname {sl} (y)$

Bezüglich der Elliptisch numerischen Exzentrizität k verallgemeinert gelten für die Jacobische elliptische Funktion sc diese Darstellung des Additionstheorems mittels Tangenssumme beziehungsweise Tangensdifferenz und mit Hilfe des Delta Amiplitudinis:

$\operatorname {sc} (x+y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\oplus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)$

$\operatorname {sc} (x-y;k)=\operatorname {sc} (x;k)\operatorname {dn} (y;k)\,\ominus \,\operatorname {sc} (y;k)\operatorname {dn} (x;k)$

Diese Identitäten zwischen den Jacobischen Thetafunktionen und den Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen R und S dargestellt über Tangensbilanzen sind für alle Elliptischen Nomina mit dem Kriterium $0<q<1$ gültig:

${\frac {\vartheta _{00}(q^{1/5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}{5\,\vartheta _{00}(q^{5})^{2}-\vartheta _{00}(q)^{2}}}=S(q)\oplus R(q^{2})$

${\frac {\vartheta _{01}(q)^{2}-\vartheta _{01}(q^{1/5})^{2}}{5\,\vartheta _{01}(q^{5})^{2}-\vartheta _{01}(q)^{2}}}=R(q)\ominus R(q^{2})$

Anwendung: Tangens und Steigungswinkel

Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto mx+c$

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels $\alpha$ zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung $m$ der Geraden, d. h. $m=\tan \,\alpha$. Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der Physik

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form ${\dot {v}}=-g-kv^{2}$ mit der Schwerebeschleunigung $g$ und einer Konstanten $k>0$. Dann ergibt sich:

$v(t)=v_{g}\cdot \cot \left({\sqrt {gk}}t+c\right)\quad {\text{mit}}\quad c=\operatorname {arccot} {\frac {v(0)}{v_{g}}}>0$,

wobei $v_{g}={\sqrt {\tfrac {g}{k}}}$ die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

$v(t)=-v_{g}\cdot \tan \left({\sqrt {gk}}t-c'\right)\quad {\text{mit}}\quad c'=\arctan {\frac {v(0)}{v_{g}}}>0$

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn $v=0$ ist, das heißt für $t={\tfrac {\pi /2-c}{\sqrt {gk}}}={\tfrac {c'}{\sqrt {gk}}}$), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

Differentialgleichung

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

$w'=1+w^{2}$.

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

$w'=1+w^{2}=(w+\mathrm {i} )(w-\mathrm {i} )$

mit der imaginären Einheit $\mathrm {i}$. Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte $\mathrm {i}$, $-\mathrm {i}$: Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen $\mathrm {i}$ und $-\mathrm {i}$ Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auch

• Sinus und Kosinus
• Sekans und Kosekans
• Formelsammlung Trigonometrie

Weblinks

Commons: Tangensfunktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiversity: Tangens und Kotangens – Kursmaterialien

Einzelnachweise

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus