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Arkussinus und Arkuskosinus

trigonometrische Funktionen
Arkussinus und Arkus­kosinus im kartesi­schen Koordinaten­system
  • arcsin (x)
  • arccos (x)
  • Der Arkussinus – geschrieben oder  – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben oder  – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsbereich auf das Intervall für Sinus und auf für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

    Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen und die klassische Schreibweise bzw. zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]

    DefinitionenBearbeiten

    Die Sinusfunktion ist  -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)

     

    die Umkehrfunktion der Einschränkung   der Sinusfunktion auf das Intervall   betrachtet.

    Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von   definiert. Dies ergibt mit

     

    ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

     

    lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

    EigenschaftenBearbeiten

      Arkussinus Arkuskosinus
    Funktions-
    Graphen
       
    Definitionsbereich    
    Wertebereich    
    Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
    Symmetrien Ungerade Funktion:   Punktsymmetrie zu  
     
    Asymptoten keine keine
    Nullstellen    
    Sprungstellen keine keine
    Polstellen keine keine
    Extrema Globales Maximum   bei  ,
    globales Minimum   bei  
    Globales Maximum   bei  ,
    globales Minimum   bei  
    Wendepunkte    

    Formeln für negative ArgumenteBearbeiten

    Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

     
     

    ReihenentwicklungenBearbeiten

    Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

     

    Der Ausdruck   bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

    Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung  :

     

    Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

    IntegraldarstellungenBearbeiten

    Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

     
     

    Verkettungen mit Sinus und KosinusBearbeiten

    Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

     , denn für   gilt   und  .
     , denn für   gilt   und  .
     , denn für   gilt   und  .
     , denn für   gilt   und  .

    Beziehung zum ArkustangensBearbeiten

    Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt

     
     

    für   Definiert man   so werden diese beiden Gleichungen auch für   richtig. Alternativ dazu kann man auch

     
     

    verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arcustangens ergibt und für   gilt. Für   lässt sich Letzteres auch zu

     

    vereinfachen.

    AdditionstheoremeBearbeiten

    Hauptartikel: Additionstheoreme für Arkusfunktionen (Trigonometrie)

    Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:

      

    Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte

     
     

    AbleitungenBearbeiten

    Arkussinus
     
    Arkuskosinus
     
    Umrechnung
     

    IntegraleBearbeiten

    Arkussinus
     
    Arkuskosinus
     

    Komplexe ArgumenteBearbeiten

        mit  
     

    Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt  

    AnmerkungenBearbeiten

    Wichtige FunktionswerteBearbeiten

    Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte

    Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[2]

         
             
             
             
             
             

    Weitere wichtige Werte sind:

         
             
             
             
             
             
             

    Kettenbruchdarstellung des ArkussinusBearbeiten

    H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

     

    Komplexe FunktionBearbeiten

    Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

     
     

    Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:

    Für  :

     

    Für  :

     

    Siehe auchBearbeiten

    LiteraturBearbeiten

    EinzelnachweiseBearbeiten

    1. Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).
    2. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).