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In dem mathematischen Teilgebiet der Analysis hat eine Funktion Definitionslücken, wenn einzelne Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen sind. Üblicherweise geht es dabei um reelle, stetige bzw. differenzierbare Funktionen. Die Definitionslücken sind die Stellen, an denen man durch null teilen müsste oder Ähnliches, beispielsweise bei gebrochenrationalen Funktionen. Die Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften fortgesetzt werden kann. In diesem Fall ist die Funktion stetig fortsetzbar und hat stetig hebbare Definitionslücken.

Insbesondere wenn eine Definitionslücke nicht stetig hebbar ist, zum Beispiel weil die Funktion dort gegen unendlich strebt oder sehr schnell oszilliert, wird die Lücke auch als Singularität bezeichnet, wobei der Sprachgebrauch in diesen Fällen nicht immer einheitlich ist. Oft werden Definitionslücke und Singularität als Synonyme verwendet.

Bei komplexwertigen Funktionen, die in einer Umgebung einer Definitionslücke holomorph sind, spricht man von isolierten Singularitäten. Dort ist die Klassifikation einfacher und es gelten weitreichende Aussagen, für die es keine Entsprechungen bei reellen Funktionen gibt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

 
Funktion mit Definitionslücke  

Sei   ein Intervall,   ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls und   eine Obermenge von  . Eine stetige Funktion  , die überall auf der Obermenge   außer an der Stelle   definiert ist, hat in   eine Definitionslücke.[1]

Stetig hebbare DefinitionslückeBearbeiten

Sei   eine Definitionslücke der stetigen Funktion  . Existiert eine stetige Funktion   mit   für alle  , dann ist   eine stetige Fortsetzung von  . Die Definitionslücke wird dann stetig hebbar oder stetig behebbar und die Funktion   stetig ergänzbar oder stetig fortsetzbar genannt.

Existiert der Grenzwert

 

dann ist   eine stetig hebbare Definitionslücke von  . In diesem Fall wird durch

 

eine stetige Fortsetzung   von   ohne Definitionslücke definiert.

Eigenschaften stetiger FortsetzungenBearbeiten

  • Wenn eine stetige Fortsetzung existiert, dann ist sie eindeutig, weil der Grenzwert
 
eindeutig ist.
  • Daraus folgt das Kriterium:   ist genau dann in   stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert   existiert.
  • Kann eine Funktion als Bruch dargestellt werden, deren Zähler- und Nennerfunktion an einer gemeinsamen Nullstelle   differenzierbar sind, so gilt die Regel von de l’Hospital:
 
  • Eine allgemeinere Möglichkeit, um eine stetige Fortsetzung zu finden, bietet der Einschnürungssatz. Er gilt auch für nicht stetige Funktionen.
  • Eine Fortsetzung ist zwar immer stetig, aber gegebenenfalls nicht differenzierbar. Die Betragsfunktion ist auf   differenzierbar aber kann auf null nicht differenzierbar fortgesetzt werden. Selbst wenn eine Fortsetzung glatt ist, muss sie nicht analytisch sein.
  • Im Komplexen gelten aufgrund der Eigenschaften holomorpher Funktionen weitergehende Aussagen: Eine stetige Fortsetzung ist schon eine analytische Fortsetzung. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt aus, dass die Definitionslücke einer holomorphen Funktion schon hebbar ist, wenn die Funktion in einer passenden Umgebung der Definitionslücke beschränkt ist. Im Reellen gilt keine vergleichbare Aussage; es könnte dort auch eine nicht hebbare Sprungstelle vorliegen.

Weitere Arten von DefinitionslückenBearbeiten

Neben den stetig hebbaren Definitionslücken gibt es noch verschiedene Arten von Sprungstellen sowie Polstellen und wesentliche Singularitäten. Funktionen mit solchen Definitionslücken können nicht stetig fortgesetzt werden.

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktion   ist in ihrem gesamten Definitionsbereich   stetig, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. Dies ist eine Polstelle.
  • Gegeben sei
 
Die Funktion   ist in   stetig fortsetzbar, denn für den Grenzwert gilt
 
und somit lautet die Fortsetzung
 .
An diesem Beispiel kann man noch bemerken, dass   auch ohne Fallunterscheidung geschrieben werden kann, es gilt nämlich   für alle  .
  • In anderen Fällen kann es sein, dass die Fallunterscheidung unumgänglich ist. So hat etwa
 
die stetige Fortsetzung
 .

Gebrochenrationale FunktionenBearbeiten

Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient

 

aus zwei ganzrationalen Funktionen   und  .

Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat. Funktionen dieser speziellen Klasse können als Definitionslücken nur Polstellen oder stetig hebbare Definitionslücken aufweisen.

Die Definitionslücke kann nur dann stetig hebbar sein, wenn die ganzrationalen Funktionen im Nenner und Zähler an derselben Stelle eine Nullstelle haben. Für die ganzrationalen Funktionen   und   ist das Verhalten an den Nullstellen bekannt:

Die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also   und   an der Stelle   eine Nullstelle haben, so ist immer

 

und

 

wobei

 .

Die natürlichen Zahlen   und   bezeichnet man auch als die Ordnung (oder Vielfachheit) der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen (zumindest für  ) kürzen. Das Ergebnis der Kürzung ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach  .

  • Wenn  , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.
  • Wenn  , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch   gegeben ist.
  • Wenn  , dann liegt eine Polstelle vor.

BeispielBearbeiten

Die Funktion

 

hat für   eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert   beheben lässt, wodurch sich die Funktion

 

als auch bei   stetige Fortsetzung ergibt. Es ist wohlgemerkt   ebenso wie   für   undefiniert, dort liegt eine Polstelle vor.

Ein Beispiel, um die Unterscheidung zwischen einer Polstelle und einer behebbaren Definitionslücke zu veranschaulichen. Die Funktion

 

hat für   eine Definitionslücke, die durch Kürzen mit dem Wert   auf die Funktion

  führt.

Da   ebenso wie   für   undefiniert ist, wurde die Lücke durch das Kürzen nicht behoben. Daher liegt bei   eine Polstelle und keine behebbare Definitionslücke vor.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. vgl. Harald Scheid/Wolfgang Schwarz: Elemente der linearen Algebra und der Analysis. Spektrum, Akad. Verl., Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2, S. 237.