Langevin-Funktion

mathematische Funktion zur Berechnung von Magnetisierung

Die Langevin-Funktion (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.

Langevin-Funktion

DefinitionBearbeiten

Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch

 ,

wobei   den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.

Eine AnwendungBearbeiten

Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter   eingeführt:

 

Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:

Für die Magnetisierung   eines Paramagneten ergibt sich dann:

 

  steht dabei für die Stoffmenge und   für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.

ReihenentwicklungenBearbeiten

Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:

 

Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:

 

Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.

Und folgender Grenzwert gilt:

 

Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:

 

Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.

Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:

 

Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.

Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für   ist

 .

Für   gilt die Näherung[1]

 .

UmkehrfunktionBearbeiten

Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die im Intervall   gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]

 

Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um  . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben[3][4].

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
  2. A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30, Nr. 3, 1991, S. 270–273. doi:10.1007/BF00366640.
  3. R. Jedynak: New facts concerning the approximation of the inverse Langevin function. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 249, 2017, S. 8–25. doi:10.1016/j.jnnfm.2017.09.003.
  4. M. Kröger: Simple, admissible, and accurate approximants of the inverse Langevin and Brillouin functions, relevant for strong polymer deformations and flows. In: Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 223, 2015, S. 77–87. doi:10.1016/j.jnnfm.2015.05.007.