Cauchy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische (supergaußförmige) Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Sie tritt in der Physik in der genäherten Beschreibung von Resonanzen auf, und wird dort Resonanzkurve oder Lorentzkurve (nach Hendrik Antoon Lorentz) genannt. Daher gibt es auch die Bezeichnungen Lorentz-Verteilung und Cauchy-Lorentz-Verteilung.

DefinitionBearbeiten

 
Dichtefunktion der Cauchy-Verteilung für verschiedene Werte der beiden Parameter. Dabei gilt:   im Bild entspricht s in der nebenstehenden Gleichung und   entspricht t.

Die Cauchy-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

 

mit   und Lageparameter   besitzt.

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

 .

Mit dem Zentrum   und dem Breitenparameter   ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung (oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad) mit

 

als Wahrscheinlichkeitsdichte und

 

als Verteilungsfunktion.

Ist   Cauchy-verteilt mit den Parametern   und  , dann ist   standard-Cauchy-verteilt.

EigenschaftenBearbeiten

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, MomenteBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung ist eine Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht endlich sind. Dementsprechend besitzt sie auch keine endlichen Momente und keine momenterzeugende Funktion.

Median, Modus, QuartilabstandBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung besitzt den Median bei  , den Modus ebenfalls bei  , und den Quartilsabstand  .

SymmetrieBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung ist symmetrisch zum Parameter  .

EntropieBearbeiten

Die Entropie beträgt  .

Charakteristische FunktionBearbeiten

Die charakteristische Funktion der Cauchy-Verteilung ist  .

ReproduktivitätBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert   aus   standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber FaltungBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, das heißt, die Faltung einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite   und einem Maximum bei   mit einer Lorentz-Kurve der Halbwertsbreite   und einem Maximum bei   ergibt wieder eine Lorentz-Kurve mit der Halbwertsbreite   und einem Maximum bei  . Somit bildet die Cauchy-Verteilung eine Faltungshalbgruppe.

Beziehungen zu anderen VerteilungenBearbeiten

Beziehung zu stetigen GleichverteilungBearbeiten

Ist   auf dem Intervall   stetig gleichverteilt, dann ist   standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zur NormalverteilungBearbeiten

Der Quotient aus zwei unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen ist standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zu studentschen t-VerteilungBearbeiten

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist der Spezialfall der studentschen t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.

Beziehung zur Lévy-VerteilungBearbeiten

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Verteilung mit dem Exponentenparameter  .

AnwendungsbeispielBearbeiten

Bei der Cauchy-Verteilung als Vertreter der Heavy-tailed-Verteilungen ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1 % größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen   mindestens 2,326, so beträgt bei einer standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze 31,82. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

ZufallszahlenBearbeiten

Zur Erzeugung Cauchy-verteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an. Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion   lautet hierbei   (siehe Kotangens). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen   lässt sich daher durch  , oder wegen der Symmetrie auch durch  , eine Folge standard-Cauchy-verteilter Zufallszahlen berechnen.

LiteraturBearbeiten

  • William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 1. 3. Auflage. Wiley & Sons, 1968, ISBN 0-471-25708-7.
  • William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications: 2. 2. Auflage. John Wiley & Sons, 1991, ISBN 0-471-25709-5.

WeblinksBearbeiten

Commons: Cauchy-Verteilung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Siehe auchBearbeiten