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Magnetisches Dipolmoment

(Weitergeleitet von Magnetisches Moment)
Physikalische Größe
Name Magnetisches Dipolmoment
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI A·m2 I·L2
Gauß (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1
esE (cgs) statA·cm2 L3/2·M1/2·T−2
emE (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1

Das magnetische Dipolmoment (oder magnetische Moment) ist in der Physik ein Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols und analog dem elektrischen Dipolmoment definiert.

Auf einen magnetischen Dipol wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte ein Drehmoment

 [Anmerkung 1]

durch das es in die Feldrichtung gedreht wird (: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel und der Elektromotor.

Die Maßeinheit des magnetischen Moments im Internationalen Einheitensystem (SI) ist A·m2. Oft wird das Produkt aus und der magnetischen Feldkonstante gebraucht (siehe Anmerkung 1); dieses hat die SI-Einheit T·m3.

Inhaltsverzeichnis

ZustandekommenBearbeiten

Die Stromdichteverteilung   hat ein magnetisches Moment
 
Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus
 
wobei   die vom Strom   umflossene Fläche ist.
Dies ist in der Elektrotechnik Grundlage für z. B. Generatoren, Motoren und Elektromagneten.
  • Teilchen mit einem Eigendrehimpuls (Spin)   haben ein magnetisches Moment
 
  wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Beispiele sind Elektronen, die durch die Parallelstellung ihrer magnetischen Momente den Ferromagnetismus der Elemente der Eisengruppe und der Seltenen Erden hervorrufen. Ferromagnetische Materialien werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

BeispieleBearbeiten

Ebene LeiterschleifeBearbeiten

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

 

Dabei bezeichnet

  •   die Stromdichte am Ort  
  •   ein Volumenintegral
  •   die Stromstärke durch die Leiterschleife
  •   ein Wegintegral entlang der Leiterschleife.

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

 

mit dem Normalenvektor   auf der ebenen Fläche  .

Stromdurchflossene lange SpuleBearbeiten

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl  , Stromstärke   und Fläche  :

 

Darin ist   der zur Fläche   gehörende Vektor.

Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Geladenes Teilchen auf einer KreisbahnBearbeiten

KlassischBearbeiten

Ist der Kreisstrom dadurch verursacht, dass ein Teilchen mit der Masse   und der Ladung   auf einer Kreisbahn (Radius  , Umlaufperiode  ) kreist, ergibt diese Formel

 

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

 

verknüpft. Der konstante Faktor   ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit   benutzt.)

QuantenmechanischBearbeiten

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Konstanten   (Plancksches Wirkungsquantum) betragen kann [Anmerkung 2], hat auch das magnetische Bahnmoment eine kleinste „Einheit“, das Magneton:

 

Wird für   die Elementarladung   eingesetzt, ergibt sich für das Elektron das Bohr'sche Magneton  , für das Proton das Kernmagneton  . Da die Protonenmasse   knapp 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse  , ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohr'sche Magneton. Daher sind die auf dem Kernmagneton   basierenden magnetischen Wirkungen der Atomkerne und die aus ihr resultierende (Hyperfeinstruktur) im Vergleich zur auf dem Bohr'schen Magneton   beruhenden Wechselwirkung Feinstrukturaufspaltung sehr schwach und schwer zu beobachten.

Das magnetische Moment von Teilchen und KernenBearbeiten

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin   besitzen ein magnetisches Spinmoment  , das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins   ausgedrückt. Man schreibt für Elektron ( ) und Positron ( )

  mit dem Bohr'schen Magneton  ,

für Proton (p) und Neutron (n)

  mit dem Kernmagneton  ,

und entsprechend für andere Teilchen. Für das Myon wird im Bohr'schen Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung. Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.[Anmerkung 3]

Teilchen Spin-g-Faktor
Elektron    [1]
Myon    [2]
Proton    [3]
Neutron    [4]

Die eingeklammerten Ziffern geben die geschätzte Standardabweichung an.

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen exakt  , quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa   vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.

Weisen die Teilchen (z. B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind) zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf, so ist das magnetische Moment die Summe aus  , dem oben betrachteten magnetischen Moment des Spins, und  , demjenigen des Bahndrehimpulses:

 .

Magnetisches Feld eines magnetischen DipolsBearbeiten

Ein magnetischer Dipol   am Koordinatenursprung führt am Ort   zu einer magnetischen Flussdichte

 .

Darin ist   die magnetische Feldkonstante. Außer am Ursprung, wo das Feld divergiert, verschwindet überall sowohl die Rotation als auch die Divergenz dieses Feldes. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

 ,

wobei   ist.

Kraft- und Momentwirkung zwischen magnetischen DipolenBearbeiten

Kraftwirkung zwischen zwei DipolenBearbeiten

Die Kraft, die von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

 

Es ergibt sich

 

worin   der Einheitsvektor ist, der von Dipol 1 zu Dipol 2 zeigt und   der Abstand zwischen den beiden Magneten ist. Die Kraft auf Dipol 1 ist reziprok.

Drehmomentwirkung zwischen zwei DipolenBearbeiten

Das Drehmoment, das von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

 

worin   das von Dipol 1 erzeugte Feld am Ort von Dipol 2 ist (s. o.). Das Drehmoment auf Dipol 1 ist reziprok.

In Anwesenheit mehrerer Dipole können die Kräfte oder Momente überlagert werden. Da weichmagnetische Werkstoffe einen feldabhängigen Dipol ausbilden, sind diese Gleichungen nicht anwendbar.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. In älteren Büchern, z. B. W. Döring, Einführung in die Theoretische Physik, Sammlung Göschen, Band II (Elektrodynamik), wird als magnetisches Moment das  -fache des hier angegebenen Wertes definiert. Dann heißt es z. B.   und   ist definiert nicht als Magnetisierung durch Volumen, sondern als magnetische Polarisation   durch Volumen. In Materie ist ja allgemein   und   (wegen  ) Alte und neue Definition sind daher voll äquivalent. Die offizielle Einigung auf die neue CODATA-Definition geschah aber erst 2010.
  2. Genauer: das gilt für die Komponente des Drehimpulsvektors längs einer Achse.
  3. Praktisch wichtig ist das Vorzeichen nur dann, wenn es um den Drehsinn der Larmorpräzession oder das Vorzeichen der paramagnetischen Spinpolarisation geht. Dementsprechend werden die Vorzeichen in der Literatur nicht ganz einheitlich gehandhabt.
  1. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen im 28. Juli 2015. Wert für den g-Faktor des Elektrons
  2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen im 28. Juli 2015. Wert für den g-Faktor des Myons
  3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen im 28. Juli 2015. Wert für den g-Faktor des Protons
  4. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen im 28. Juli 2015. Wert für den g-Faktor des Neutrons