Magnetisches Dipolmoment

Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols
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Physikalische Größe
Name Magnetisches Dipolmoment
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI A·m2 I·L2
Gauß (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1
esE (cgs) statA·cm2 L3/2·M1/2·T−2
emE (cgs) erg/Gs=abA·cm2 L5/2·M1/2·T−1

Das magnetische Dipolmoment (oder magnetische Moment) ist in der Physik ein Vektor, dessen Maß die Stärke eines magnetischen Dipols und dessen Richtung die Orientierung des Dipols angibt. Die Definition ist analog der des elektrischen Dipolmoments.

Auf einen magnetischen Dipol wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte ein Drehmoment

 [Anm 1]

im Sinn einer Drehung, die den Winkel zwischen dem Dipol und dem Feld verringert (: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel, der Stabmagnet und der Rotor im Elektromotor.

Die Maßeinheit des magnetischen Moments im Internationalen Einheitensystem (SI) ist A·m2. Oft wird das Produkt aus und der magnetischen Feldkonstante verwendet[Anm 1]; dieses hat die SI-Einheit T·m3.

ZustandekommenBearbeiten

Ein magnetisches Moment kann auf zwei Weisen erzeugt werden:

Die Stromdichteverteilung   hat ein magnetisches Moment
 
Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus
 
wobei   die vom Strom   umflossene Fläche ist.
Dies ist in der Elektrotechnik Grundlage für z. B. Elektromagneten, Generatoren und Motoren.
  • Es kann bei allen Elementarteilchen und daraus zusammengesetzten Systemen auftreten, die einen Eigendrehimpuls (Spin)   haben. Dann ist das magnetische Moment parallel zum Drehimpuls
 
  wird gyromagnetisches Verhältnis genannt. Beispiele sind Elektronen. Elektronen verursachen zum Beispiel den makroskopisch bemerkbaren Ferromagnetismus, indem sie bei Elementen der Eisengruppe und der Seltenen Erden ihre Drehimpulse bzw. magnetischen Momente parallel stellen. Ferromagnetische Materialien werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

BeispieleBearbeiten

Ebene LeiterschleifeBearbeiten

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

 

Dabei bezeichnet

 
Magnetisches Dipolmoment einer stromumflossenen Fläche
  •   die Stromdichte am Ort  
  •   ein Volumenintegral
  •   die Stromstärke durch die Leiterschleife
  •   ein Wegintegral entlang der Leiterschleife.

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

 

mit dem Normalenvektor   auf der ebenen Fläche  . Der Vektor   ist dabei so orientiert, dass er bei gegen den Uhrzeigersinn fließendem Strom nach oben zeigt.

Stromdurchflossene lange SpuleBearbeiten

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl  , Stromstärke   und Fläche  :

 

Darin ist   der zur Fläche   gehörende Vektor.

Geladenes Teilchen auf einer KreisbahnBearbeiten

KlassischBearbeiten

Ist der Kreisstrom dadurch verursacht, dass ein Teilchen mit der Masse   und der Ladung   auf einer Kreisbahn (Radius  , Umlaufperiode  ) kreist, ergibt diese Formel

 

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

 

verknüpft. Der konstante Faktor   ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit   benutzt.)

QuantenmechanischBearbeiten

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Konstanten   (Plancksches Wirkungsquantum) betragen kann[Anm 2], hat auch das magnetische Bahnmoment eine als Magneton bezeichnete kleinste „Einheit“:

 

Wird für   die Elementarladung   eingesetzt, ergibt sich für das Elektron das Bohr’sche Magneton  , für das Proton das Kernmagneton  . Da die Protonenmasse   knapp 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse  , ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohr’sche Magneton.

Das magnetische Moment von Teilchen und KernenBearbeiten

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin   besitzen ein magnetisches Spinmoment  , das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins   ausgedrückt. Man schreibt für Elektron ( ) und Positron ( )

  mit dem Bohr’schen Magneton  ,

für Proton (p) und Neutron (n)

  mit dem Kernmagneton  ,

und entsprechend für andere Teilchen.

In optischen Spektren von Atomen bewirken die Dipolmomente der Elektronen eine meist geringfügige Aufspaltung der Spektrallinien, die als Feinstruktur bezeichnet wird. Die viel schwächeren Dipolmomente der Atomkerne bewirken zusätzlich die etwa drei Größenordnungen kleinere Hyperfeinstruktur, die entsprechend schwer zu beobachten ist.

Für das Myon wird im Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung.

Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.[Anm 3]

Teilchen Spin-g-Faktor
Elektron    [1]
Myon    [2]
Proton    [3]
Neutron    [4]

Die eingeklammerten Ziffern geben die geschätzte Standardabweichung an.

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen exakt  , quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa   vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.

Weisen die Teilchen zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf (z. B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind), so ist das magnetische Moment die Summe aus  , dem oben betrachteten magnetischen Moment des Spins, und  , demjenigen des Bahndrehimpulses:

 .

Magnetisches Feld eines magnetischen DipolsBearbeiten

Ein magnetischer Dipol   am Koordinatenursprung führt am Ort   zu einer magnetischen Flussdichte

 .

Darin ist   die magnetische Feldkonstante. Außer am Ursprung, wo das Feld divergiert, verschwindet überall sowohl die Rotation als auch die Divergenz dieses Feldes. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

 ,

wobei   ist. Mit der magnetischen Feldstärke   beträgt das magnetische Skalarpotential

 .

Kraft- und Momentwirkung zwischen magnetischen DipolenBearbeiten

Kraftwirkung zwischen zwei DipolenBearbeiten

Die Kraft, die von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist der Gradient der potentiellen Energie:

 ,

worin   das von Dipol 1 erzeugte Feld am Ort von Dipol 2 ist. Es ergibt sich

 

worin   der Einheitsvektor ist, der von Dipol 1 zu Dipol 2 zeigt und   der Abstand zwischen den beiden Magneten ist. Die Kraft auf Dipol 1 ist reziprok.

Drehmomentwirkung zwischen zwei DipolenBearbeiten

Das Drehmoment, das von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

 

Das Drehmoment auf Dipol 1 ist reziprok.

In Anwesenheit mehrerer Dipole können die Kräfte oder Momente vektoriell addiert werden. Da weichmagnetische Werkstoffe einen feldabhängigen Dipol ausbilden, sind diese Gleichungen hierfür nicht anwendbar.

LiteraturBearbeiten

AnmerkungenBearbeiten

  1. a b In älteren Büchern, z. B. W. Döring, Einführung in die Theoretische Physik, Sammlung Göschen, Band II (Elektrodynamik), wird als magnetisches Moment das  -fache des hier angegebenen Wertes definiert. Dann heißt es z. B.   und   ist definiert nicht als Magnetisierung durch Volumen, sondern als magnetische Polarisation   durch Volumen. In Materie ist ja allgemein   und   (wegen  ) Alte und neue Definition sind daher voll äquivalent. Die offizielle Einigung auf die neue CODATA-Definition geschah 2010.
  2. Genauer: das gilt für die Komponente des Drehimpulsvektors längs einer Achse.
  3. Praktisch wichtig ist das Vorzeichen nur dann, wenn es um den Drehsinn der Larmorpräzession oder das Vorzeichen der paramagnetischen Spinpolarisation geht. Dementsprechend werden die Vorzeichen in der Literatur nicht ganz einheitlich gehandhabt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juli 2019. Wert für den g-Faktor des Elektrons
  2. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juli 2019. Wert für den g-Faktor des Myons
  3. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juli 2019. Wert für den g-Faktor des Protons
  4. CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 21. Juli 2019. Wert für den g-Faktor des Neutrons