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Eine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“,[1] von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine Linie, der sich eine Funktion im Unendlichen immer weiter annähert.

Eine verbreitete Auffassung, dass sich eine Funktion der Asymptote zwar nähert, sie aber niemals schneidet stimmt nicht. Es gibt nämlich Funktionen, die ihre Asymptote mehrmals in ihrem Verlauf schneiden oder um die Asymptote oszillieren und sie unendlich oft schneiden.

Inhaltsverzeichnis

Asymptoten einer reellen Funktion f(x)Bearbeiten

Sei   die zu betrachtende Funktion, deren Definitionsbereich   eine Teilmenge der reellen Zahlen   ist.   sei deren Asymptote (Ausnahme: Asymptotischer Punkt, weiter unten).

Parallel zur in diesem Artikel gewählten Gliederung der Asymptoten nach ihrer Form und Lage kann man Asymptoten – beziehungsweise das Verhalten einer Funktion zur Asymptote – auch wie folgt unterscheiden:

  1. horizontale Annäherung: der horizontale (waagerechte) Abstand Δx zwischen Funktion und Asymptote geht gegen Null…
    • …in Richtung unendlich großer/kleiner  :
      Dies gilt für vertikale gerade Asymptoten.
    • …in Richtung eines Punktes:
      Dies gilt für den Asymptotischen Punkt.
  2. vertikale Annäherung: der vertikale (senkrechte) Abstand Δy zwischen Funktion   und Asymptote   geht gegen Null…
    • …in Richtung unendlich großer/kleiner  :
      Mathematisch wird dies mittels Grenzwert ausgedrückt:
        oder  
      Dies gilt für alle anderen Geraden Asymptoten (horizontale und schräge) sowie die Nichtgeraden Asymptoten.
    • …in Richtung eines Punktes:
      Dies gilt für den Asymptotischen Punkt.

Gerade AsymptotenBearbeiten

 
Die Hyperbelfunktion   mit ihrer vertikalen ( ) und horizontalen ( ) Asymptote (beide gestrichelt)

Gerade Asymptoten können in drei Typen unterschieden werden: vertikale, horizontale und schiefe.[2]

Vertikale AsymptoteBearbeiten

Vertikale (oder „senkrechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen. Einem   wären in diesem Falle mehrere   „zugeordnet“. Entsprechend lassen sich solche Geraden nicht als Funktion   beschreiben. Sie sind also kein Schaubild einer Funktion. Vertikale Asymptoten werden daher über die Gleichung

 

beschrieben. Im Punkt   schneidet die vertikale Asymptote die x-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion   hat eine solche vertikale Asymptote, wenn der Funktionswert   an einer Stelle   gegen unendlich läuft. Anders gesagt: Nähert man sich auf der x-Achse von links oder rechts der Stelle  , so geht   gegen das positive oder negative Unendlich. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:

 ,

oder

 

Im Unterschied zu allen anderen Asymptoten  , bei denen sich die eingangs erwähnte „Annäherung im Unendlichen“ auf unendlich große   bezieht, bezieht sich diese Annäherung bei vertikalen geraden Asymptoten also auf unendlich große  -Werte (an einer konkreten Stelle  ).

Eine weitere Besonderheit der vertikalen geraden Asymptoten ist die, dass eine reelle Funktion   davon auch mehrere besitzen kann. Bekannte Funktionen mit mehreren vertikalen Asymptoten sind Tangens und Kotangens.

Ferner haben alle Funktionen mit Polstellen an diesen Stellen vertikale Asymptoten, für die man dann auch die Bezeichnung „Polgerade“ oder „Polgerade von  “ findet. Allerdings können Asymptoten auch wesentliche Singularitäten sein (z. B.  ), sodass die Umkehrung der Aussage nicht stimmt.

Horizontale AsymptoteBearbeiten

Horizontale (oder „waagerechte“) Asymptoten sind Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen. Sie können über die Gleichung

 

beschrieben werden. Dies entspricht einer Geradengleichung der Form   mit  . Als Funktion geschrieben haben horizontale Asymptoten die Form

 .

Der Wert   entspricht dann dem   in der Geradengleichung. Im Punkt   schneidet die horizontale Asymptote die y-Achse des Koordinatensystems.

Eine zu betrachtende Funktion   hat eine solche horizontale Asymptote, wenn der Funktionswert   im positiven oder negativen Unendlichen gegen den Wert   läuft. Mathematisch lässt sich diese Bedingung mittels Grenzwert ausdrücken:

 

oder

 

Und dies analog den schiefen Asymptoten als Differenz geschrieben wäre dann:

 

oder

 

Bekannte Funktionen mit einer horizontalen Asymptote sind Exponential- und Hyperbelfunktionen.

Die letztgenannten Hyperbeln, wie z. B.   sind das klassisches Beispiel für Funktionen mit vertikaler und horizontaler Asymptote:

  • Die vertikale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade  , die die x-Achse an der Stelle   schneidet, was gleichzeitig die Polstelle dieser Hyperbelfunktion darstellt. Anders ausgedrückt: Der Schnittpunkt der vertikalen Asymptote mit der x-Achse ist in  , was dem Ursprung des Koordinatensystems entspricht.
  • Die horizontale Asymptote dieser Funktion ist die Gerade  , mit also  . Die y-Achse wird folglich im Punkt   geschnitten, also ebenfalls im Koordinatenursprung.

Weitere Beispiele von Funktionen mit horizontalen Asymptoten sind:

Schiefe AsymptotenBearbeiten

 
Die Funktion   (rot) hat die schiefe Asymptote   (grün) und die vertikale Asymptote   (y-Achse)

Schiefe (oder „schräge“, „geneigte“) Asymptoten lassen sich mittels der Geradengleichung:

  mit  

oder als Funktion:

 

darstellen. Wichtig hierbei:  , sonst wäre es eine horizontale Asymptote. Und wie man es von solchen linearen Funktionen kennt, läuft der Graph von   in x- und y-Richtung gegen Unendlich.

Eine zu betrachtende Funktion   hat eine solche schiefe Asymptote  , wenn sie sich dieser im Unendlichen annähert. Diese Bedingung/Eigenschaft sieht mathematisch wie folgt aus:

 

oder

 

Anders gesagt: Eine Annäherung im Unendlichen heißt, dass der senkrechte Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null läuft. Mathematisch stellt ein Abstand eine Differenz dar. Betrachtet man also diese Differenz zwischen der Funktion   und ihrer Asymptote   so läuft die Differenz im Unendlichen gegen Null:

 

oder

 

Nichtgerade AsymptotenBearbeiten

 
Die rationale Funktion   mit ihrer vertikalen Asymptote   und ihrer asymptotischen Näherungsparabel   (beide gestrichelt)

Nicht nur Geraden können Asymptoten zu einer Funktion sein, sondern auch nichtgerade Kurven oder Funktionen. So können zum Beispiel beliebige Polynome (Quadratische Funktionen etc.) Asymptoten zu anderen Funktionen sein. Und wie schon oben für die geraden Asymptoten (außer den vertikalen) beschrieben, gilt auch hier:

 

oder

 

Ist beispielsweise   eine zu betrachtende rationale Funktion (mit den Polynomen   und  ), so erhält man deren Asymptote   aus dem „Ganzteil“ der Polynomdivision von   durch  . Des Weiteren hat die Funktion vertikale Asymptoten durch ihre Polstellen.

Anmerkung: Der senkrechte Abstand von   zu   wird durch den „Restteil“ der Polynomdivision beschrieben. Dieser ist eine echt gebrochenrationale Funktion, die dieselben vertikalen Asymptoten wie   hat und zusätzlich noch die horizontale Asymptote   besitzt. Letzteres beschreibt noch einmal die Eigenschaft einer Asymptote: Wenn die Abstandsfunktion (Abstand zwischen Funktion   und ihrer Asymptote  ) eine horizontale Asymptote bei   hat, so nähert sich der Abstand zwischen Funktion und ihrer Asymptote im Unendlichen gegen Null.

Ein Beispiel (siehe auch Abbildung rechts):

 

Diese Beispielfunktion hat folgende Asymptoten:

  • eine vertikale Asymptote   durch ihre Polstelle und
  • die Parabel  , die man aus dem „Ganzteil“ des Ergebnisses der Polynomdivision erhält. Eine Parabel als Asymptote nennt man dann Näherungsparabel. Dieser nähert sich die betrachtete Funktion   im Unendlichen an.

Asymptotischer PunktBearbeiten

 
f(x)=x*sin(1/x) mit dem Asymptotischen Punkt (0|0)

Statt einer Kurve oder Geraden können sich Funktionen auch nur einem Punkt asymptotisch nähern. In diesem Fall gilt nicht die Bedingung der oben beschrieben „linienartigen“ Asymptoten, bei denen sich die Funktion   erst im Unendlichen der Asymptote annähert. Hier ist ein Punkt   im „Endlichen“ die Asymptote.

Asymptoten weiterer KurvenBearbeiten

Dieser Abschnitt bedarf einer Überarbeitung: Es ist zu klären/belegen, ob die Stetigkeit und ob die genannte Abzählbarkeit der Definitionslücken eine Bedingung für ein asymptotisches Verhalten darstellen? (siehe auch die Diskussion dazu.)
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Neben obigen Funktionsgraphen stetiger Funktionen   mit abzählbar vielen Definitionslücken – dies trifft auf die meisten in der Schule betrachteten Funktionen zu – gibt es noch weitere mathematisch definierbare Kurven, die ein asymptotisches Verhalten aufweisen können: Wege, algebraische Kurven, Spiralen, Klothoide, u. v. m.

Für eine algebraische Kurve lässt sich der Asymptotenbegriff aus Sicht der projektiven Geometrie auch als eine Tangente im Unendlichen beschreiben.

BeispieleBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Duden, das große Fremdwörterbuch, Mannheim & Leipzig, 2000, ISBN 3-411-04162-5.
  2. Springer-Taschenbuch der Mathematik. 2013, doi:10.1007/978-3-8348-2359-5 (springer.com [abgerufen am 8. Juni 2018]).