Mathematische Formeln verwenden für den Arkustangens als Formelzeichen ,,, oder .[2]
Für den Arkuskotangens sind die Schreibweisen und neuerdings auch [3] in Gebrauch.
Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise die klassische Schreibweise zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann (s. a. die Schreibweisen für die Iteration).
Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt lautet:
Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt lautet:
Diese Reihenkonvergieren genau dann, wenn und ist. Zur Berechnung des Arkustangens für kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne auszukommen) die Gleichung
Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle |x| < 1,}
sodass obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.
Wegen hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt die Taylorreihe:
Sie konvergiert für und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für allerdings mit dem Wert Manche Pakete der Computeralgebra geben für den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert als Hauptwert.
Reihen mit den ZentralbinomialkoeffizientenBearbeiten
Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte
Aus dem ersten Gesetz lässt sich für hinreichend kleine mit
das Gruppengesetz ableiten. Es gilt also beispielsweise:
woraus sich
errechnet.
Ferner gilt
und dementsprechend
Die zwei Gleichungen als Arkuskotangens geschrieben:
und
Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des ArkustangensBearbeiten
Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall die Leibniz-Formel
um die ersten 100 Nachkommastellen von mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller (linear) und wird auch heute noch für die Berechnung von verwendet.
Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von Carl Størmer (1896):
Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei es hier um die Gaußsche Zahl
geht, die mit einem Taschenrechner berechnet werden kann.
Komplexer Arkustangens und ArkuskotangensBearbeiten
Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man
mit
eine Darstellung, die quasi schon in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist. Wie im Reellen gilt
mit
Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens (wie auch den Arkuskotangens) durch ein Integral und durch den komplexenLogarithmus ausdrücken:
für in der zweifach geschlitzten Ebene
Das Integral hat einen Integrationsweg, der die imaginäre Achse nicht kreuzt außer evtl. im Einheitskreis. Es ist in diesem Gebiet regulär und eindeutig.[9]
Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form
Ist die Diskriminante nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution
in die Form
bringen; eine Stammfunktion ist also
Und so entsteht das Endresultat:
Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in polareBearbeiten
Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand
des Punktes vom Ursprung zur Lösung. Ist nun dann ist auch und es spielt keine Rolle, welchen Wert hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.
Ist aber dann ist weil die Funktionen und die Periode haben, durch die Gleichungen nur modulo bestimmt, d. h., mit ist auch für jedes eine Lösung.
Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen.
Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.
Der simple Arkustangens (s. Abb. 3) reicht allerdings nicht aus. Denn wegen der Periodizität des Tangens von muss dessen Definitionsmenge vor der Umkehrung auf eine Periodenlänge von eingeschränkt werden, was zur Folge hat, dass die Umkehrfunktion (der Arkustangens) keine größere Bildmenge haben kann.
Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks
In der nebenstehenden Abb. 3[10] ist die Polarachse (die mit der -Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag in die -Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung) bis zum Punkt Das Dreieck ist ein gleichschenkliges, sodass die Winkel und gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte eines von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel des Dreiecks Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel Mit dem Abszissenpunkt gilt im rechtwinkligen Dreieck
was nach aufgelöst
ergibt. Die Gleichung versagt, wenn ist. Dann muss wegen auch sein.
Wenn jetzt ist, dann handelt es sich um den singulären Fall.
Ist aber dann sind die Gleichungen durch oder erfüllt.[11] Das ist in Einklang mit den Bildmengen resp. der Funktion im folgenden Abschnitt.
Ein anderer Weg, um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, ist in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen gewählt worden, und zwar eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo bspw. im Intervall und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können:
Zusammen mit der Gleichung erfüllt jede der beiden Lösungen und die Gleichungen :
In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung der Gleichung so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter modifizierte Arkustangens-Funktion
Die Funktion rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.
Mit der nicht normierten Fehlerfunktion kann diese Identität auch so geschrieben werden:
Durch Ableiten dieser Integralidentität entsteht die Ableitung des Arkustangens:
Die genannte Integralidentität ist bezüglich x eine Ursprungsfunktion.
Wenn der Wert eingesetzt wird, dann wird folgender Zusammenhang sichtbar:
Mit der genannten Identität des Arkustangens kann somit das Integral der Gaussschen Glockenkurve bewiesen werden.
Integralidentität mit dem Logarithmus NaturalisBearbeiten
Auch mit dem Logarithmus Naturalis kann für den Arkustangens eine Integralidentität aufgestellt werden:
Durch Ableiten dieser Integralidentität entsteht ebenso die Ableitung des Arkustangens:
Die genannte Integralidentität ist bezüglich x eine Ursprungsfunktion.
Die nun gezeigte Integralidentität wurde durch den Mathematiker James Harper entdeckt und in seinem Werk Another simple proof[12] aus dem Jahre 2003 behandelt.
Wenn der Grenzwert von dieser Identität für berechnet wird, dann entsteht für dieses Integral über den Areatangens Hyperbolicus folgende Identität:
Und mit dieser Formel kann das Basler Problem bewiesen werden.
Ebenso kann für das Quadrat des Arkustangens eine Logarithmus-Naturalis-Integralidentität aufgestellt werden:
Stammfunktionen von Arkustangens und ArkuskotangensBearbeiten
Die Summenreihen mit dem Arkustangens als Summanden dienen auch zur Beschreibung einiger Funktionen. Beispielsweise hat die Gudermannfunktion für alle reellen Zahlen x diese Identität:
G.Huvent: Autour de la primitive de tp coth (αt/2). 3. Februar 2002. Seite 5
Mircea Ivan: A simple solution to Basel problem. General Mathematics Vol. 16, No. 4, Technical University of Cluj-Napoca Department of Mathematics, 2008
James D. Harper: A simple proof of The American Mathematical Monthly 109(6) (Jun. - Jul., 2003) 540–541.