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Arkustangens und Arkuskotangens

trigonometrische Funktionen
Abb. 1: Graph der Funktion
Abb. 2: Graph der Funktion

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische Arkusfunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall und beim Kotangens das Intervall .[1]

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Zusammen mit den Areafunktionen sind sie in der komplexen Funktionentheorie Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie auch die „Mehrdeutigkeit“ erben, die ihrerseits von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt.

SchreibweisenBearbeiten

Mathematische Formeln verwenden für den Arkustangens als Formelzeichen  ,  ,  ,   oder  .[2] Für den Arkuskotangens sind die Schreibweisen       und neuerdings auch  [3] in Gebrauch.

Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise   beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise   die klassische Schreibweise   zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann (s. a. die Schreibweisen für die Iteration).

EigenschaftenBearbeiten

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich    
Bildmenge    
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
 
Punktsymmetrie zu  
 
Asymptoten   für     für  
  für  
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte    

Wichtige FunktionswerteBearbeiten

Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[4]

     
         
         
         
         

Weitere wichtige Werte sind:

     
         
         
         
         
         
         

Für Tangenswerte   siehe die Formel im Abschnitt #Funktionalgleichungen.

Näherungsweise BerechnungBearbeiten

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[5]

 

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

 

ReihenentwicklungBearbeiten

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt   lautet:

 

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt   lautet:

 

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn   und   ist. Zur Berechnung des Arkustangens für   kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit   zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne   auszukommen) die Gleichung

 

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit   sodass obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird   mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen   hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt   die Taylorreihe:

 

Sie konvergiert für   und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für   allerdings mit dem Wert   Manche Pakete der Computeralgebra geben für   den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert   als Hauptwert.

FunktionalgleichungenBearbeiten

Statt aus Argumenten   über 1 oder unter −1 lässt sich der Arkustangens aus Argumenten   zwischen −1 und 1 ableiten:

 .

Gleiches gilt für den Arkuskotangens:

 .

Wenn man (bspw. durch die erste Ersetzung) bei einem Argument (einem Tangenswert)   ankommt, kann man anschließend im Fall   die Gleichung

 

anwenden, sodass mit   das Argument des Arkustangens in jedem Fall (jetzt  , sonst  ) ins Intervall   mit   zu liegen kommt.

Weitere BeziehungenBearbeiten

 
 
 
 

Wegen der Punktsymmetrie   ist mit   auch   ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

AdditionstheoremeBearbeiten

Hauptartikel: Additionstheoreme für Arkusfunktionen (Trigonometrie)

Die Additionstheoreme für Arkustangens und Arkuskotangens erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Tangens und Kotangens:

 
 

Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte

 
 

Aus dem ersten Gesetz lässt sich mit

 

für hinreichend kleine   das Gruppengesetz   ableiten. Es gilt also beispielsweise:

 

woraus sich

 

errechnet. Ferner gilt

 

und dementsprechend

 

Die zwei Gleichungen als Arkuskotangens geschrieben:

 

und

 

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des ArkustangensBearbeiten

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall   die Leibniz-Formel

 

Da sie nur extrem langsam (logarithmisch) konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

 

um die ersten 100 Nachkommastellen von   mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller (linear) und wird auch heute noch für die Berechnung von   verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Størmer (1896):

 [6]

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

  mit  

gleich sind.[7]

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei es hier um die Gaußsche Zahl

 

geht, die mit einem Taschenrechner berechnet werden kann.

AbleitungenBearbeiten

Arkustangens:

 

Arkuskotangens:

 

StammfunktionenBearbeiten

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens ist

 

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

 

Komplexer Arkustangens und ArkuskotangensBearbeiten

Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man

     mit  

eine Darstellung, die quasi schon in Real- und Imaginärteil aufgespalten ist. Wie im Reellen gilt

 

mit  

Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens (wie auch den Arkuskotangens) durch ein Integral und durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

 

für   in der zweifach geschlitzten Ebene   Das Integral hat einen Integrationsweg, der die imaginäre Achse nicht kreuzt außer evtl. im Einheitskreis. Es ist in diesem Gebiet   regulär und eindeutig.[8]

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

 

Ist die Diskriminante   nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

 

in die Form

 

bringen; eine Stammfunktion ist also

 

Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in polareBearbeiten

Ist ein Punkt   in der Ebene durch Polarkoordinaten   gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten   durch die Gleichungen

   

bestimmt.

Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand

   

des Punktes   vom Ursprung   zur Lösung. Ist nun   dann ist auch   und es spielt keine Rolle, welchen Wert   hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.

Ist aber   dann ist   weil die Funktionen   und   die Periode   haben, durch die Gleichungen   nur modulo   bestimmt, d. h., mit   ist auch   für jedes   eine Lösung.

Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen. Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.

Der simple Arkustangens   (s. Abb. 3) reicht allerdings nicht aus. Denn wegen der Periodizität des Tangens von   muss dessen Definitionsmenge vor der Umkehrung auf eine Periodenlänge von   eingeschränkt werden, was zur Folge hat, dass die Umkehrfunktion (der Arkustangens) keine größere Bildmenge haben kann.

 
Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Halber WinkelBearbeiten

In der nebenstehenden Abb. 3[9] ist die Polarachse (die mit der  -Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag   in die  -Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung)   bis zum Punkt   Das Dreieck   ist ein gleichschenkliges, sodass die Winkel   und   gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte eines von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel   des Dreiecks   Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel   Mit dem Abszissenpunkt   gilt im rechtwinkligen Dreieck  

 

was nach   aufgelöst

   

ergibt. Die Gleichung versagt, wenn   ist. Dann muss wegen   auch   sein. Wenn jetzt   ist, dann handelt es sich um den singulären Fall. Ist aber   dann sind die Gleichungen   durch   oder   erfüllt.[10] Das ist in Einklang mit den Bildmengen   resp.   der Funktion im folgenden Abschnitt.

Der „Arkustangens“ mit zwei ArgumentenBearbeiten

Ein anderer Weg, um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, ist in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen gewählt worden, und zwar eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo   bspw. im Intervall   und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können:

   

Zusammen mit der Gleichung   erfüllen die Lösungen   die Gleichungen  :

        und
  ,

und zwar für   mit jedem beliebigen  

Arkustangens mit LageparameterBearbeiten

 
Abb. 4: Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung   der Gleichung   so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert   liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter   modifizierte Arkustangens-Funktion

 

Die Funktion   rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Beide Funktionen sind monoton in diesen Intervallen, und diese sind von den jeweiligen Polstellen begrenzt.
  2. Eric W. Weisstein: Inverse Tangent. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Inverse Cotangent. In: MathWorld (englisch).
  4. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)
  6. Bspw. sind die Zahlen   Størmer-Zahlen;
      dagegen nicht.
  7. Dabei ist  
  8. Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 Formel 4.4.3
  9. Eine ganz ähnliche Skizze ist die von Einheitskreis#Rationale Parametrisierung.
  10. Beim Rechnen mit Gleitkommazahlen besteht Instabilität in der Nähe des  -Strahls wegen