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Der Satz von Riemann-Roch (nach dem Mathematiker Bernhard Riemann und seinem Schüler Gustav Roch) ist eine zentrale Aussage der Theorie kompakter riemannscher Flächen. Er gibt an, wie viele linear unabhängige meromorphe Funktionen mit vorgegebenen Null- und Polstellen auf einer kompakten riemannschen Fläche existieren. Der Satz wurde später auf algebraische Kurven ausgedehnt, noch weiter verallgemeinert und wird auch in der aktuellen Forschung noch weiterentwickelt.

Inhaltsverzeichnis

DivisorBearbeiten

Um Null- und Polstellen einer Funktion an bestimmten Stellen vorschreiben zu können, wird der Begriff Divisor eingeführt. Sei   eine riemannsche Fläche. Eine Funktion   heißt Divisor, falls sie nur an isolierten Punkten von null verschieden ist.

Der Divisor einer meromorphen Funktion   wird mit   bezeichnet und ist so definiert, dass jedem Punkt   die Null- bzw. Polstellenordnung von   in   zugeordnet wird:

 

Damit ist der Divisor einer Funktion tatsächlich ein Divisor nach der ersten Definition, wenn die Funktion auf jeder Zusammenhangskomponente von   von der Nullfunktion verschieden ist. Für eine meromorphe 1-Form   auf   wird der Divisor   wie bei einer Funktion definiert. Ein Divisor   heißt kanonischer Divisor, wenn er sich als Divisor einer meromorphen 1-Form   schreiben lässt, also wenn  .

Für eine kompakte riemannsche Fläche ist der Grad eines Divisors   definiert durch  . Die Summe ist endlich, da aufgrund der Kompaktheit der Träger aus isolierten Punkten eine endliche Menge sein muss.

Aussage über riemannsche FlächenBearbeiten

Sei   eine kompakte riemannsche Fläche vom topologischen Geschlecht   und   ein Divisor auf  . Dann gilt:

 

  steht für einen beliebigen kanonischen Divisor auf  .   bezeichnet für einen Divisor   die Dimension des  -Vektorraums   der meromorphen Funktionen auf   deren Null- und Polstellen durch den Divisor wie folgt eingeschränkt werden:

 

Aussage über algebraische KurvenBearbeiten

Für nicht-singuläre projektive algebraische Kurven   über einem algebraisch abgeschlossenen Körper   wird der Satz von Riemann-Roch üblicherweise mit Hilfe der Kohomologietheorie formuliert.

Er lautet dann:

 

  ist die Garbe der regulären Funktionen auf  . Anstelle des topologischen Geschlechts tritt das arithmetische Geschlecht der Kurve, welches im Falle   mit dem topologischen zusammenfällt. Der Dualitätssatz von Serre besagt, dass die Formulierung im Falle   mit derjenigen der des Abschnitts über riemannsche Flächen übereinstimmt.

KonsequenzenBearbeiten

  • Als ein erstes Klassifikationsresultat folgt sofort, dass jede riemannsche Fläche vom Geschlecht   isomorph ist zur riemannschen Sphäre  , insbesondere kann also auf der Sphäre   nur eine einzige holomorphe Struktur definiert werden. Für nicht-singuläre projektive Kurven vom Geschlecht   gilt entsprechend, dass sie birational äquivalent zu   sind.
  • Die Formel von Riemann-Hurwitz über das Abbildungsverhalten holomorpher Funktionen zwischen zwei kompakten riemannschen Flächen bzw. über das Abbildungsverhalten von Morphismen zwischen zwei nicht-singulären projektiven Kurven.
  • Ein Einbettungssatz: Jede kompakte riemannsche Fläche bzw. jede nicht-singuläre projektive Kurve kann in den projektiven Raum   eingebettet werden.

Weitere VerallgemeinerungenBearbeiten

LiteraturBearbeiten