Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei $X$ ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen $f\colon X\to \mathbb {C}$ und eine beliebige Teilmenge $A$ von $X$ sei

$\Vert f\Vert _{A}:=\sup _{x\in A}\left|f(x)\right|$

die Supremumsnorm. Eine Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ von Funktionen $f_{n}\colon X\to \mathbb {C}$ heißt normal konvergent, wenn es zu jedem $x\in X$ eine Umgebung $U$ von $x$ gibt, sodass gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{U}<\infty$

Beispiel

Betrachte die Funktionenfolge $f_{n}(x):=x^{n}$ auf dem kompakten Intervall $I:=[-q,q]$ mit $0<q<1$. Dann ist $\Vert f_{n}\Vert _{I}=q^{n}$ und die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert f_{n}\Vert _{I}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}$

konvergiert (als geometrische Reihe wegen $|q|<1$). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion $\textstyle x\mapsto {\frac {1}{1-x}}$ ist stetig auf $I$.

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in $X$ normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt $x_{0}\in X$ gibt es eine Umgebung $U(x_{0})$, in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

• Linearkombinationen und das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
• Sind alle $f_{n}$ stetig, so ist auch die Grenzfunktion $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ stetig, wenn $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ normal konvergiert.
• Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

Literatur

• R. Remmert: Funktionentheorie I. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1989, ISBN 3-540-51238-1.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer Verlag, 3. Auflage, 1995.