Normale Konvergenz

In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung unendlicher Funktionenreihen. Eingeführt wurde der Begriff vom französischen Mathematiker René Louis Baire.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen   und eine beliebige Teilmenge   von   sei

 

die Supremumsnorm. Eine Reihe   von Funktionen   heißt normal konvergent, wenn es zu jedem   eine Umgebung   von   gibt, sodass gilt:

 

BeispielBearbeiten

Betrachte die Funktionenfolge   auf dem kompakten Intervall   mit  . Dann ist   und die Reihe

 

konvergiert (als geometrische Reihe wegen  ). Die Funktionenreihe ist also normal konvergent und ihre Grenzfunktion   ist stetig auf  .

EigenschaftenBearbeiten

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in   normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal gleichmäßig konvergent, das heißt, zu jedem Punkt   gibt es eine Umgebung  , in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Damit ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent, da dies aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

  • Sind alle   stetig, so ist auch die Grenzfunktion   stetig, wenn   normal konvergiert.
  • Konvergiert eine Reihe normal, so konvergieren alle Umordnungen dieser Reihe normal, und zwar gegen dieselbe Grenzfunktion.

LiteraturBearbeiten