Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

DefinitionBearbeiten

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring   ist ein Ausdruck der Form

 ,

bei dem nur endlich viele Ringelemente   von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-PolynomeBearbeiten

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition:  ,

Multiplikation:  .

Diese Operationen machen die Menge   zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über  . Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen   in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation:  .

In vielen Anwendungen ist   ein Körper,   ist dann eine  -Algebra.

EigenschaftenBearbeiten

  • Man erhält   aus dem Polynomring  , indem man die Unbestimmte   invertiert. Der Laurent-Ring über   ist damit die Lokalisierung von   nach der von den positiven Potenzen von   erzeugten Halbgruppe.
  • Die Einheiten von   sind von der Form  , wobei   eine Einheit und   ist.
  • Der Laurent-Ring über   ist isomorph zum Gruppenring von   über  .

Derivationen des Laurent-RingsBearbeiten

Es sei   ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf   eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

 

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes   durch die Definition   eine Derivation gegeben und man kann beweisen, dass dies die allgemeinste Derivation auf   ist. Ist nämlich   eine solche Derivation, so ist   und man kann   zeigen.[1]

Die Derivationen  , bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

  •   für alle  .

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

  •   für alle  .

Daher nennt man   auch die Grad-Derivation.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1