Monoidring

Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

Definition Bearbeiten

Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins und $G$ ein Monoid, dann ist

R[G]:=\{\alpha \colon G\to R{\ {\big |}\ }\alpha (x)=0{\text{ für alle bis auf endlich viele }}x\}\,

mit der Addition

(\alpha +\beta )(x):=\alpha (x)+\beta (x)

und der Faltung

(\alpha \beta )(z):=\sum _{xy=z}{\alpha (x)\beta (y)}

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt $a\cdot x$ oder einfach $ax$ für die Abbildung $\alpha \in R[G]$ , die an der Stelle $x$ den Wert $a$ und ansonsten $0$ annimmt. Beispielsweise gilt dann

(a\cdot x)(b\cdot y)=(ab)\cdot (xy)\quad {\text{für }}a,b\in R{\text{ und }}x,y\in G.

$R[G]$ besitzt ein Einselement, nämlich $1\cdot e$ , wobei $1$ das Einselement von $R$ und $e$ das Neutralelement von $G$ ist.

Ist $G$ eine Gruppe, so heißt $R[G]$ Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise $RG$ ist üblich.

$R[G]$ wird zur $R$ -Algebra via $r\sum _{i}r_{i}g_{i}:=\sum _{i}rr_{i}g_{i}$

Eigenschaften Bearbeiten

$R[G]$ ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn $G$ als Monoid kommutativ ist oder $R$ der Nullring ist.
Jedes Element $\alpha \in R[G]$ lässt sich eindeutig schreiben als $\alpha =\sum _{x\in G}a_{x}\cdot x$ mit $a_{x}:=\alpha (x)$
Falls $R$ nicht der Nullring ist, sind $R$ und $G$ auf natürliche Weise in $R[G]$ eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen $f_{0}\colon R\to R[G],~f_{0}(r)=r\cdot e$ und $f_{1}\colon G\to R[G],~f_{1}(x)=1\cdot x$ , wobei $1\cdot x$ wie oben definiert ist.
Falls $R$ der Nullring ist, dann ist $R[G]$ isomorph zum Nullring
Falls $G$ ein Monoid ist, $A,B$ kommutative Ringe und $f\colon A\to B$ ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus $h\colon A[G]\to B[G]$ . sodass $h\left(\sum _{x\in G}a_{x}x\right)=\sum _{x\in G}f(a_{x})x$

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien $G$ und $R$ wie oben definiert. Es bezeichne $\mathbf {Mon}$ die Kategorie der Monoide und $\mathbf {Alg_{R}}$ die Kategorie der (assoziativen) $R$ -Algebren. Sei $U\colon \mathbf {Alg_{R}} \to \mathbf {Mon}$ der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder $R$ -Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung $\phi \colon G\to U(R[G]),g\mapsto 1g$ universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus $f\colon G\to U(A)$ in das multiplikative Monoid einer $R$ -Algebra $A$ haben, dann existiert genau ein $R$ -Algebra-Homomorphismus ${\bar {f}}\colon R[G]\to A$ , so dass $U({\bar {f}})\circ \phi =f$ .

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht ${\bar {f}}$ wie folgt aus: ${\bar {f}}\left(\sum _{i}r_{i}g_{i}\right)=\sum _{i}r_{i}f(g_{i})$ .

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über $R$ zuordnet, mit $F$ bezeichnen, ist also $F$ linksadjungiert zu $U$ . So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

Beispiele Bearbeiten

$R[\mathbb {N} _{0}]$ ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über $R$ .
Ist allgemeiner $G$ ein freies kommutatives Monoid in $n$ Erzeugern, so ist $R[G]$ isomorph zum Polynomring in $n$ Unbestimmten über $R$ .

Spezialfälle Bearbeiten

Es sei $G$ eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist $G$ nicht diskret, so enthält der Gruppenring $\mathbb {C} [G]$ keine Information über die topologische Struktur von $G$ . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: Sei $\mu$ ein linksinvariantes Haarmaß auf $G$ , dann bildet der Raum $L^{1}(G,\mu )$ mit der Faltung