Algebra über einem kommutativen Ring

algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht

Als Algebra über einem kommutativen Ring oder -Algebra (wobei ein kommutativer Ring ist) bezeichnet man eine algebraische Struktur, die aus einem Modul über einem kommutativen Ring und einer zusätzlichen, mit der Modulstruktur verträglichen (Algebra-)Multiplikation besteht. Insbesondere ist eine Algebra über einem kommutativen Ring eine Verallgemeinerung der Algebra über einem Körper.

Allgemeine DefinitionBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring,   ein  -Modul und

 

eine zweistellige Verknüpfung auf  , genannt „Multiplikation“.

Das Paar   heißt „ -Algebra“, wenn die Multiplikation   bilinear ist, d. h. für alle Algebraelemente   und jedes Ringelement   gilt:

  •  
  •  
  •  

Hier ist zunächst weder Assoziativität noch Kommutativität noch die Existenz eines neutralen Elementes der Algebra-Multiplikation vorausgesetzt.

AlgebrenhomomorphismusBearbeiten

Ein  -Algebrenhomomorphismus   von   nach   ist ein R-Modulhomomorphismus, für den zusätzlich gilt, dass   für alle   ist.

Spezielle DefinitionBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring. Eine  -Algebra ist ein Tupel  . Dabei ist   ein unitärer Ring und   ein Ringhomomorphismus ins Zentrum von  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede so definierte  -Algebra kann als  -Algebra gemäß der allgemeinen Definition aufgefasst werden, indem man die Skalarmultiplikation als   setzt. Dagegen lässt sich nicht jede  -Algebra gemäß der allgemeinen Definition auf eine gemäß der speziellen zurückführen.
  • Ferner kann jede so definierte  -Algebra auch als  -Bimodul aufgefasst werden vermöge  .
  • Eine  -Algebra heißt endlich, wenn sie aufgefasst als  -Modul endlich erzeugt ist.
  • Eine  -Algebra   heißt endlich erzeugt, wenn es für ein   einen surjektiven Algebrenhomomorphismus   gibt.

AlgebrenhomomorphismusBearbeiten

Zu dieser speziellen Definition einer R-Algebra definiert man einen  -Algebrenhomomorphismus   von   nach   als einen Ringhomomorphismus von   nach  , für den zusätzlich gilt, dass   ist.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder Ring ist eine  -Algebra, also eine Algebra über dem kommutativen Ring   der ganzen Zahlen.
  • Jeder kommutative Ring ist eine Algebra über sich selbst.
  • Der Polynomring   über einem Ring   ist eine endlich erzeugte, aber nicht endliche  -Algebra (sofern   nicht der Nullring ist).

LiteraturBearbeiten