Bilineare Abbildung

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Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

bei der normalen Multiplikation.

DefinitionBearbeiten

Eine  -bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

 , wobei  ,   und   drei  -Moduln oder  -Vektorräume über dem (gleichen) Ring bzw. Körper   sind,

so dass für jedes (fest gewählte)   aus  

 

eine  -lineare Abbildung   ist, und für jedes   aus  

 

eine lineare Abbildung   ist. Für beliebige  ,   und   gilt demnach

 

Man kann sagen, dass der Begriff der Bilinearität eine Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze darstellt. Dabei beschreibt die Bilinearität jedoch nicht nur (wie die Distributivgesetze) das Verhalten der Abbildung hinsichtlich Addition, sondern auch hinsichtlich Skalarmultiplikation.

Genauer: Ist   ein (möglicherweise nicht-kommutativer) Ring mit  , dann muss die Seitigkeit der Moduln miteinbezogen werden, d. h.   muss ein rechter und   ein linker  -Modul sein. Die Seitigkeit von   bleibt frei wählbar (in den Gleichungen ist sie links).

Stetigkeit und DifferenzierbarkeitBearbeiten

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung   stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

 

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien   total differenzierbare Funktionen, dann gilt

 

BeispieleBearbeiten

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und das Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich   mit dem Skalarkörper   der Vektorräume   und   identisch.

 

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Symmetrie und Antisymmetrie (für  ) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung   macht   zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt, dass

 

(wobei   die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu TensorproduktenBearbeiten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

 

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

 

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

 

eine bilineare Abbildung

 

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen   und dem Raum der linearen Abbildungen  .

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

Sind   und   endlichdimensionale  -Vektorräume mit beliebig gewählten Basen   von   und   von  , dann gibt es für ein beliebiges   aus   die Darstellung

  mit Koeffizienten   aus   und analog für ein beliebiges   aus   die Darstellung
 

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

 

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von   und   bestimmt. Ist   ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild   einen maximal   dimensionalen Untervektorraum von   auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die   aus  , so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden können. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

QuellenBearbeiten