Gruppen-C*-Algebra

Gruppen-C*-Algebren werden in den mathematischen Teilgebieten der harmonischen Analyse und Funktionalanalysis untersucht. Einer lokalkompakten Gruppe wird in natürlicher Weise eine C*-Algebra zugeordnet, so dass diese die Darstellungstheorie der Gruppe enthält.

Unitäre Darstellungen lokalkompakter GruppenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Für einen Hilbertraum   bezeichne   die C*-Algebra der beschränkten linearen Operatoren auf   und   die multiplikative Gruppe der unitären Operatoren.

Es sei   eine lokalkompakte Gruppe. Eine unitäre Darstellung von   auf einem Hilbertraum   ist ein Homomorphismus  , der bezüglich der schwachen Operatortopologie stetig ist.

Die linksreguläre DarstellungBearbeiten

Um eine erfolgreiche Theorie unitärer Darstellungen aufbauen zu können, muss es genügend viele solcher Darstellungen geben, um die Gruppe treu, das heißt injektiv, darstellen zu können. Das wird durch die linksreguläre Darstellung geleistet. Zu einer lokalkompakten Gruppe   gibt es bekanntlich ein links-Haarmaß  . Daher kann man den Hilbertraum   konstruieren, den man unter Auslassung des Haarschen Maßes kurz als   schreibt. Für jedes   sei nun   durch   definiert, wobei   und   seien.

Aus der Linksinvarianz des Haarschen Maßes folgt, dass die   unitäre Operatoren sind. Man zeigt, dass   eine unitäre Darstellung ist; dies ist die sogenannte linksreguläre Darstellung.

Bemerkung: Würde man in der Formel   das   auf der rechten Seite durch   ersetzen, so erhielte man immer noch unitäre Operatoren, aber   wäre kein Homomorphismus, man hätte in „falscher Reihenfolge“  . Die Verwendung von   in obiger Formel bringt die Reihenfolge in Ordnung.

Die GruppenalgebraBearbeiten

Wie in der algebraischen Darstellungstheorie werden die Gruppendarstellungen auf Darstellungen zugehöriger Algebren ausgedehnt, weil Darstellungen von Algebren leichter zu handhaben sind.

Zur lokalkompakten Gruppe   mit links-Haarschem Maß   betrachtet man den  -Banachraum  . Für   definiert man   und   durch die Formeln

  •  ,
  •  ,

wobei der Querstrich für die komplexe Konjugation steht und   die modulare Funktion von   ist. Man zeigt, dass  , die sogenannte Faltung aus   und  , fast überall definiert ist, und dass   mit der Faltung als Produkt und der Involution   eine Banach-*-Algebra mit Approximation der Eins ist.[1]

Zu jeder unitären Darstellung   der Gruppe konstruiert man eine Darstellung  , wobei   durch folgende Formel definiert wird:

 .

Man kann zeigen, dass die so definierte Darstellung   eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung ist, die auch mit der Involution verträglich ist, das heißt, es gilt   für alle  -Funktionen  , wobei der * auf der rechten Seite die Involution in der C*-Algebra   ist.

Ist umgekehrt   eine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es genau eine unitäre Darstellung  , so dass sich   gemäß obiger Konstruktion aus   ergibt.[2] Daher ist die Darstellungstheorie von   äquivalent zu derjenigen von  .

Die Gruppen-C*-AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Es sei   die universelle Darstellung von  . Die Gruppen-C*-Algebra   einer lokalkompakten Gruppe   ist als der Normabschluss von   in   definiert. Ist also   irgendeine nicht-degenerierte *-Darstellung, so gibt es nach Konstruktion einen surjektiven Homomorphismus  , wobei der Querstrich für den Normabschluss in   steht.

Der kommutative FallBearbeiten

Ist beispielsweise   kommutativ und   die Dualgruppe, so definiert jedes   via Pontrjagin-Dualität einen Homomorphismus  . Der durch   definierte Multiplikationsoperator   auf   ist unitär, da   nur Werte vom Betrag 1 annimmt. Man erhält daher eine unitäre Darstellung  , was zu einer nicht-degenerierten *-Darstellung   führt, deren Normabschluss isomorph zur C*-Algebra   der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen   ist. Nach obiger Konstruktion erhält man also einen surjektiven Homomorphismus  , von dem man zeigen kann, dass er sogar ein Isomorphismus ist; man hat also die Formel  .[3]

Im Allgemeinen liegen nicht so einfache Verhältnisse vor, was auch daran liegt, dass der Hilbertraum der universellen Darstellung unzugänglich ist.

Die reduzierte Gruppen-C*-AlgebraBearbeiten

Um den mit der universellen Darstellung verbundenen Schwierigkeiten aus dem Wege zu gehen, liegt es nahe, die linksreguläre Darstellung   zu betrachten, denn dann hat man es nur mit dem Hilbertraum   zu tun. Die zugehörige Darstellung   ist nichts weiter als die Faltung:  , wobei   und  . Den Normabschluss von   in   nennt man die reduzierte Gruppen-C*-Algebra und bezeichnet diese mit  .[4]

Nach oben vorgestellter Konstruktion setzt sich die linksreguläre Darstellung zu einem surjektiven Homomorphismus   fort. Dieser ist im Allgemeinen nicht injektiv, obwohl die linksreguläre Darstellung von   es ist. Man kann zeigen, dass dieser genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Gruppe mittelbar ist.[5]

Die reduzierte Gruppen-C*-Algebra enthält nicht die volle Darstellungstheorie der Gruppe, sofern diese nicht mittelbar ist, wie das Beispiel   der von zwei Elementen frei erzeugten Gruppe zeigt. Man kann beweisen, dass   viele endlichdimensionale Darstellungen besitzt[6], wohingegen   einfach ist[7] und daher keine endlichdimensionalen Darstellungen besitzen kann.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Jacques Dixmier: C*-Algebras. North-Holland Publishing Company, 1977, ISBN 0-7204-0762-1, Kapitel 13.2.
  2. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.4.
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.1.6.
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Satz 7.2.1.
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups. Academic Press Inc., 1979, ISBN 0-12-549450-5, Theorem 7.3.9.
  6. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Satz VII.6.1.
  7. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example. American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Korollar VII,7.5