Harmonische Analyse

Die (abstrakte) harmonische Analyse oder (abstrakte) harmonische Analysis ist die Theorie der lokalkompakten Gruppen und ihrer Darstellungen. Der Name rührt daher, dass es auf beliebigen lokalkompakten Gruppen ein zum Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen analoges Maß gibt, das sogenannte Haar-Maß. Bezüglich dieses Maßes lässt sich – je nach zusätzlichen Eigenschaften der Gruppe, insbesondere bei kommutativen Gruppen – die Theorie der Fourier-Analysis übertragen. Das führt zu wichtigen Erkenntnissen über lokalkompakte Gruppen. Dieser Artikel legt den Schwerpunkt auf die Darstellung der Verallgemeinerungen der klassischen Situation in den reellen Zahlen.

Lokalkompakte GruppenBearbeiten

Eine lokalkompakte Gruppe ist eine topologische Gruppe, die eine lokalkompakte Topologie trägt. Beispiel dafür sind:

  • Die reellen Zahlen   mit der Addition als Gruppenverknüpfung bilden mit dem Lebesgue-Maß als Haar-Maß den Prototyp der Theorie.
  • Der   mit der Addition und dem n-dimensionalen Lebesgue-Maß ist eine einfache Verallgemeinerung des ersten Beispiels.
  • Jede Gruppe mit der diskreten Topologie ist lokalkompakt. Das Haar-Maß ist das Zählmaß.
  • Die Kreislinie   ist mit der Multiplikation als Gruppenverknüpfung eine kompakte Gruppe. Das Haar'sche Maß ist das Bildmaß der Abbildung  , wobei auf [0,1] das Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Gruppe spielt im weiteren Verlauf eine wichtige Rolle.
  • Die Gruppe   der invertierbaren  -Matrizen mit der Matrizenmultiplikation ist ein Beispiel für eine nicht-kommutative lokalkompakte Gruppe. Die Angabe des Haar-Maßes verlangt fortgeschrittene Integrationskenntnisse. Ist   das Lebesgue-Maß auf dem  , so ist durch   ein Haar-Maß gegeben. Im allgemeinen nicht-kommutativen Fall muss man zwischen Links- und Rechts-Haarmaß unterscheiden, in diesem Beispiel ist das noch nicht erforderlich.

Die Banachalgebra L1(G)Bearbeiten

Ist   das Haar-Maß auf der lokalkompakten abelschen Gruppe G, so kann man bzgl. dieses Maßes den Raum L1(G) bilden. Es ist der Banachraum der komplexwertigen L1-Funktionen, wobei fast überall übereinstimmende Funktionen in üblicher Weise identifiziert werden. Wie im Falle der reellen Zahlen definiert die Faltung

 

eine Multiplikation, die   zu einer kommutativen Banachalgebra macht. Dabei wurde die Verknüpfung auf G additiv geschrieben,   ist in G zu berechnen! Durch die Formel

 

wird eine isometrische Involution auf der Banachalgebra definiert. Mit ähnlichen Formeln kann man auch im nicht-kommutativen Fall eine Banachalgebra   definieren; das ist im Artikel Gruppen-C*-Algebra ausgeführt.

Wie bei der Gruppenalgebra der algebraischen Darstellungstheorie von Gruppen, lassen sich Darstellungen auf lokalkompakten Gruppen auf natürliche Weise in Algebrendarstellungen von   übersetzen und umgekehrt. Dieser Übergang ist auch wesentlich für die Definition der Fouriertransformation.

Abelsche GruppenBearbeiten

DualgruppeBearbeiten

Sei   eine abelsche lokalkompakte Gruppe. Ein stetiger Gruppenhomomorphismus   heißt ein Charakter von  . Die Menge aller Charaktere wird mit   bezeichnet. Mit der Multiplikation   wird   zu einer Gruppe. Mit der Topologie der kompakten Konvergenz wird   sogar zu einer lokalkompakten abelschen Gruppe, die man daher auch als Dualgruppe von   bezeichnet. Wir betrachten einige Beispiele:

  • Jeder Charakter   hat die Gestalt   für ein  . Identifiziert man   mit  , so hat man also  , zumindest als Mengen. Man kann zeigen, dass diese Identifizierung auch im Sinne lokalkompakter Gruppen in Ordnung geht.
  • Jeder Charakter   ist von der Form   für ein  . In diesem Sinne hat man also  .
  • Die Charaktere   sind   für  , was zur Dualität   führt.

Das letzte Beispiel verhält sich ‚invers‘ zum vorangegangenen. Das ist kein Zufall, denn es gilt der folgende Dualitätssatz von Pontrjagin.

Dualitätsatz von PontrjaginBearbeiten

Ist   eine lokalkompakte abelsche Gruppe, so ist  .

Dieser Satz rechtfertigt den Begriff Dualgruppe, denn man kann aus der Dualgruppe die Ausgangsgruppe wieder zurückgewinnen.

Die Fourier-TransformationBearbeiten

Ist   eine lokalkompakte abelsche Gruppe mit Haar-Maß   und ist  , so heißt

 

die Fourier-Transformierte von  . Im Falle   erhält man wegen   die klassische Fourier-Transformation. Viele Eigenschaften der klassischen Fourier-Transformation bleiben im abstrakten Fall erhalten. So ist z. B.   stets eine stetige Funktion auf  , die im Unendlichen verschwindet. Die Fourier-Transformation ist ein injektiver Homomorphismus  .

Die Sichtweise des Physikers auf die klassische Fourier-Transformation ist die, dass eine ‚beliebige‘ Funktion als Summe (=Integral) von harmonischen Schwingungen dargestellt werden kann, denn   löst die ungedämpfte Schwingungsgleichung. Diese Sichtweise bleibt auch im abstrakten Rahmen erhalten, die harmonischen Schwingungen müssen – zumindest im abelschen Fall – lediglich durch Charaktere ersetzt werden. Aus diesem Grunde spricht man von abstrakter harmonischer Analyse.

Fourier-UmkehrformelBearbeiten

Auch die Fourier-Umkehrformel bleibt in diesem abstrakten Rahmen erhalten. Ist G unsere lokalkompakte Gruppe mit Dualgruppe  , und ist   Haar-Maß auf der Dualgruppe, so setze man für  

 .

Ist dann   derart, dass die Fourier-Transformation   in   ist, so erhält man mittels dieser Umkehrformel aus   wieder   zurück, zumindest bis auf einen konstanten Faktor. Dieser konstante Faktor rührt daher, dass das Haar-Maß nur bis auf einen konstanten Faktor eindeutig ist. Selbst im prototypischen Fall der reellen Zahlen tritt der bekannte Faktor   auf, wenn man auf der Gruppe und der Dualgruppe das Lebesgue-Maß verwendet.

FourierreihenBearbeiten

Eine Funktion   auf der Kreisgruppe   kann auf naheliegende Weise als eine  -periodische Funktion   auf   aufgefasst werden, man setze dazu  . Da  , ist die Fourier-Transformation von   eine Funktion auf  :

 

Wir sehen hier die Fourier-Koeffizienten von  . Die Fourier-Umkehrformel führt dann zur bekannten Fourierreihe. Die abstrakte harmonische Analyse liefert also den Rahmen für eine gemeinsame theoretische Betrachtung sowohl der klassischen Fourier-Transformation als auch der Fourierreihen-Entwicklung.

Gelfand-DarstellungBearbeiten

Sei G wieder eine lokalkompakte abelsche Gruppe mit Haar-Maß  . Die Fourier-Transformation kann auch auf folgende Weise interpretiert werden. Jeder Charakter   definiert durch die Formel

 

ein stetiges, lineares, multiplikatives Funktional   auf  . Die Fourier-Transformation erweist sich damit als die Gelfand-Transformation der kommutativen Banachalgebra  .

Nicht-abelsche GruppenBearbeiten

Für nicht-abelsche Gruppen reicht es nicht mehr, Charaktere der Gruppe zu betrachten, stattdessen betrachtet man unitäre Darstellungen auf Hilberträumen. Sei also   eine lokalkompakte topologische Gruppe. Eine unitäre Darstellung   von   auf einem Hilbertraum   ist nun ein stetiger Gruppenhomomorphismus  , wobei   die unitäre Gruppe bezeichne, ausgestattet mit der schwachen Operatortopologie, die in diesem Fall mit der starken Operatortopologie übereinstimmt. Existiert nun ein Unterhilbertraum   von  , sodass für alle   noch immer  , so lässt sich die Darstellung auf   einschränken,   heißt invarianter Teilraum der Darstellung. Eine Darstellung für die keine nicht-trivialer invarianter Teilraum existiert, heißt irreduzibel. Man wählt nun ein Vertretersystem   der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe bezüglich unitärer Äquivalenz. Im abelschen Fall entspricht dieses gerade den Charakteren. Da sich jede solche Darstellung   auf gewisse kanonische Weise zu einer Algebrendarstellung auf   fortsetzen lässt, indem man

 

in einem geeigneten Sinne von Integration setzt, lässt sich für ein   die Familie

 

definieren, welche Fouriertransformation genannt wird.

Weitergehende Sätze der harmonischen Analyse befassen sich nun damit, wie und wann   sowie der Raum der   mit geeigneten Strukturen ausgestattet werden können, die von der Fouriertransformation erhalten werden (ähnlich der Aussage der Plancherelformel), wodurch sich die Fouriertransformation umkehren lässt. Ein derartiges Ergebnis für alle lokalkompakten topologischen Gruppen konnte dabei jedoch nicht erlangt werden.

Kompakte GruppenBearbeiten

Eine weitreichende Verallgemeinerung der Fouriertransformation auf kompakten Gruppen liefert der Satz von Peter-Weyl. Dieser Satz ist besonders elementar, da die Struktur von   in einem gewissen Sinne „diskret“ (im abelschen kompakten Fall tatsächlich als topologischer Raum diskret) ist und   einfach als orthogonale Summe von Matrizen aufgefasst werden kann.

Plancherel-Maß für unimodulare GruppenBearbeiten

In dem Fall, dass die Gruppe unimodular und zweitabzählbar ist und eine gewisse darstellungstheoretische Eigenschaft aufweist (Typ-1-Gruppe, d. h. die Gruppen-C*-Algebra ist postliminal), lässt sich   mit dem Plancherel-Maß ausstatten, bezüglich dieses Maßes lässt sich ein direktes Integral der jeweiligen Räume von Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden, als Elemente dieses Raumes können dann die Fouriertransformierten   aufgefasst und rücktransformiert werden.[1]

Bezüglich des Plancherel-Maßes können Mengen einzelner Punkte positives Maß besitzen, diese bilden die sogenannte diskrete Serie, irreduzible Teildarstellungen der regulären Darstellung der Gruppe. Dies ist etwa bei kompakten Gruppen der Fall, wodurch sich wiederum der Satz von Peter-Weyl ergibt.

Nicht-unimodulare GruppenBearbeiten

Auf nicht-unimodulare Gruppen ist die Rücktransformation auf dieselbe Weise nicht mehr möglich. Abhilfe schaffen hier in einigen Fällen spezielle semi-invariante Operatoren, das sind bestimmte, im Allgemeinen nur dicht definierte und unbeschränkte, positive, selbstadjungierte abgeschlossene Operatoren, mit denen die   auf solche Weise skaliert werden, dass sich   wiederum mit dem Plancherel-Maß ausstatten lässt, die Fouriertransformierten eine Hilbertraumstruktur erhalten und eine Rücktransformation möglich wird.[2] Diese semi-invarianten Operatoren ersetzen die (äquivarianten) Konstanten, die im unimodularen Fall zur Skalierung notwendig sind, und werden Duflo-Moore-Operatoren oder formal degree operators genannt.

LiteraturBearbeiten

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A. A. Kirillow: Representation Theory and Noncommutative Harmonic Analysis I. Hrsg.: Alexander Alexandrowitsch Kirillow. Springer, 1994, ISBN 3-540-18698-0, S. 113.
  2. Ronald L. Lipsman: Type I criteria and the Plancherel formula for Lie groups with co-compact radical. In: Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 4e série. Band 9, Nr. 2, 1982, S. 263–285 (online [PDF; 1,9 MB]).