Zählmaß (Maßtheorie)

Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet

Das Zählmaß ist in der Mathematik ein spezielles Maß, das Mengen die Anzahl ihrer Elemente zuordnet. Formal lässt sich das Zählmaß auf einem Messraum definieren, wobei eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge ist. Ist eine endliche Menge, so entsteht dabei ein endliches Maß. Es ist genau dann ein σ-endliches Maß, wenn abzählbar ist.

DefinitionBearbeiten

Das Zählmaß einer Menge   ist wie folgt definiert:

 

BeispieleBearbeiten

 
Integral der Funktion   auf dem Intervall   bzgl. des Zählmaßes über  

Über den natürlichen Zahlen, das heißt dem Messraum  , entspricht das Zählmaß der Abbildung

 

Hierbei bezeichnet   die charakteristische Funktion der Menge  .

Mit Hilfe des Zählmaßes auf   lässt sich jede endliche Summe oder unendliche, absolut konvergente Reihe als Lebesgue-Integral darstellen. Insbesondere gilt für jede Abbildung  :

  konvergiert absolut     ist integrierbar bzgl. des Zählmaßes auf  

In diesem Fall gilt

 .

LiteraturBearbeiten