Pontrjagin-Dualität

mathematischer Satz

Die Pontrjagin-Dualität, benannt nach Lew Semjonowitsch Pontrjagin, ist ein mathematischer Begriff aus der harmonischen Analyse. Einer lokalkompakten abelschen Gruppe wird eine weitere lokalkompakte abelsche Gruppe als Dualgruppe zugeordnet, derart dass die Dualgruppe zur Dualgruppe wieder die Ausgangsgruppe ist. Diese Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der abstrakten Fourier-Transformation und der Strukturtheorie der lokalkompakten abelschen Gruppen.

Pontrjagin-DualitätBearbeiten

Die Kreislinie   ist mit der Multiplikation als Gruppenverknüpfung eine kompakte Gruppe.

Ist G eine lokalkompakte abelsche Gruppe, so heißt ein stetiger Gruppenhomomorphismus   ein Charakter von G. Die Dualgruppe   von G ist die Menge aller Charaktere von G. Mit der Multiplikation   wird   zu einer abelschen Gruppe, und die Topologie der kompakten Konvergenz macht   zu einer lokalkompakten Gruppe, d. h. zu einer topologischen Gruppe, deren Topologie lokalkompakt ist.

Ist   ein stetiger Homomorphismus, so ist   ebenfalls ein stetiger Homomorphismus, der zu   duale Homomorphismus.

BeispieleBearbeiten

  • Die Charaktere der Restklassengruppe   haben die Form  , wobei  . Es gilt  , falls  , und damit  .
  • Jeder Charakter von   hat die Form   für ein  . Identifiziert man   mit n, so ist  .
  • Die Gruppe   hat die Charaktere  ,  , wobei  . Die Zuordnung   liefert  .
  •   mit der Addition als Verknüpfung und der euklidischen Topologie ist eine lokalkompakte abelsche Gruppe. Jeder Charakter   hat die Gestalt   für ein  . Identifiziert man   mit z, so hat man also   zunächst als Mengen. Dabei gilt   für alle   und die Abbildung   ist ein Homöomorphismus, also hat man   auch als lokalkompakte abelsche Gruppen.

Produkte von GruppenBearbeiten

Sind G und H lokalkompakte abelsche Gruppen, so auch deren kartesisches Produkt  . Dann definiert   einen Charakter auf  , wenn man   setzt. Auf diese Weise erhält man einen Gruppenhomöomorphismus  .

Damit hat man viele weitere Beispiele:

  •   für jede endliche abelsche Gruppe G, denn eine solche ist endliches Produkt von Gruppen der Form   (siehe dazu: Endlich erzeugte abelsche Gruppe).
  •  ,  ,  

Dualitätssatz von PontrjaginBearbeiten

Man hat eine natürliche Abbildung  . Der Satz von Pontrjagin besagt, dass diese Abbildung stets ein topologischer Gruppenisomorphismus ist. Das rechtfertigt die Bezeichnung Dualgruppe von G, denn nach obigem Satz kann man G aus   durch erneute Dualgruppenbildung zurückgewinnen.

Beziehungen zwischen Gruppe und DualgruppeBearbeiten

Auf Grund der Pontrjagin-Dualität erwartet man eine Reihe von Beziehungen zwischen einer lokalkompakten abelschen Gruppe G und ihrer Dualgruppe  . Dabei findet man Beziehungen zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften. Exemplarisch gilt:

  • G ist diskret     ist kompakt.
  • G ist kompakt     ist diskret.

Für eine kompakte Gruppe sind folgende Aussagen äquivalent:

Eine weitere Zusammenhangseigenschaft führt zu folgender Äquivalenz:

Ein stetiger Homomorphismus   heißt strikt, wenn   als Abbildung   offen ist, d. h. das Bild jeder offenen Menge ist relativ offen im Bild von  . Eine Folge   von Homomorphismen heißt strikt, wenn jeder Homomorphismus strikt ist. Bezeichnet man schließlich die einelementige Gruppe mit 1 und beachtet  , so gilt folgender Satz:

  • Sei   eine Folge stetiger Homomorphismen zwischen lokalkompakten abelschen Gruppen. Dann sind folgende Aussage äquivalent:
    •   ist eine strikte und exakte Folge.
    •   ist eine strikte und exakte Folge.

Daraus zieht man weitere Folgerungen:

  • Ein stetiger Homomorphismus   ist genau dann strikt, wenn   strikt ist.
  • Ist   eine abgeschlossene Untergruppe, so ist  . Dabei ist   die zur Inklusion   duale Abbildung.

Kompakt erzeugte GruppenBearbeiten

Die Pontrjagin-Dualität ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Strukturtheorie für lokalkompakte abelsche Gruppen. Eine lokalkompakte Gruppe heißt kompakt erzeugt, wenn es eine kompakte Teilmenge von G gibt, die G als Gruppe erzeugt. Eine diskrete Gruppe ist genau dann kompakt erzeugt, wenn sie endlich erzeugt ist.

Für eine lokalkompakte abelsche Gruppe sind äquivalent:

  • G ist kompakt erzeugt.
  •  , wobei   und K eine kompakte Gruppe ist.
  •  , wobei   und D eine diskrete Gruppe ist.

Zusatz: Dabei sind die Zahlen m und n eindeutig durch G bestimmt und K ist die größte kompakte Untergruppe von G.

Gelfand-TransformationBearbeiten

Wie im Artikel Harmonische Analyse erläutert, tritt die Dualgruppe einer lokalkompakten abelschen Gruppe G in der Gelfand-Transformation der Faltungsalgebra über G auf.

Pontrjagin-Dualität als FunktorBearbeiten

Die Pontrjagin-Dualität, d. h. die oben beschriebenen Zuordnungen   und   von lokalkompakten abelschen Gruppen und stetigen Homomorphismen, ist offenbar ein kontravarianter Funktor. Die zweifache Hintereinanderausführung dieses Funktors führt zum identischen Funktor (genauer: zu einer natürlichen Äquivalenz zum identischen Funktor).

LiteraturBearbeiten

  • Lynn H. Loomis: An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
  • Walter Rudin: Fourier Analysis on Groups, 1962
  • E. Hewitt, K. Ross: Abstract Harmonic Analysis I, II, Springer (1963), (1970).