Gelfand-Transformation

mathematischer Satz

Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative -Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem aus wird eine stetige Funktion zugeordnet, wobei ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.

Motivation, Gelfand-RaumBearbeiten

Betrachtet man eine kommutative  -Banachalgebra   nur als normierten Raum mit Dualraum   und Bidualraum  , so lassen sich die Elemente von   folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem   die Funktion   zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von   in den Bidualraum, denn jedes   ist ein Element aus  . Jedes   ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf   die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen   stetig macht.

Wenden wir uns wieder der Algebra   zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung   kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht  . Dazu müsste nämlich   und damit   für alle   gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz   nur die multiplikativen Funktionale in  , und genau das ist die Gelfand-Transformation.

Wir setzen daher  . Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von   oder auch den Gelfand-Raum von  . Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra   mit der Nullmultiplikation, d. h.   für alle  . Ist aber  , so kann man zeigen, dass   mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Nach obigen Ausführungen ist

 

ein stetiger Homomorphismus mit Norm  .   ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf  , die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation,   nennt man die Gelfand-Transformierte von  .

Beispiel C0(Z)Bearbeiten

Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und  , so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf   verschaffen. Ist  , so ist die Punktauswertung   offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass   gilt. Z kann also mittels der Abbildung   mit   identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und   auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also   nichts weiter als die Identität. Für   bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.

Beispiel L1(ℝ)Bearbeiten

Der Banachraum   ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative  -Banachalgebra. Für   gilt dabei

 
 

Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf   aus? Die Punktauswertungen des  -Beispiels kommen nicht in Frage, denn für  -Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für   durch

 

ein multiplikatives Funktional auf   erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also   und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung   ein Homöomorphismus von   auf   ist. Identifiziert man daher   und   mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:

 .

Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.

Beispiel 'holomorphe Fortsetzung'Bearbeiten

Es sei   die Kreislinie  . Dann ist   eine kommutative Banachalgebra mit 1. Sei   die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere   besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass   eine Unter-Banachalgebra von   ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf   aus? Zunächst sind die Punktauswertungen  , die ja schon multiplikative Funktionale auf   sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf  . Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen  , multiplikative Funktionale auf  . Man zeigt, dass   und dass man   mittels   auch topologisch mit der Kreisfläche   identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher

  holomorphe Fortsetzung von  ,

d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.

BedeutungBearbeiten

Ist   eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Das  -Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen  . Der Gelfand-Raum von   wird mit   bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt   dann die Dualgruppe von  . Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.

Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums   kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra   der stetigen und beschränkten Funktionen auf   erhalten werden.

Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.

LiteraturBearbeiten