Die Diskalgebra (manchmal auch Discalgebra) ist eine in den mathematischen Teilgebieten Funktionalanalysis und Funktionentheorie betrachtete Algebra. Viele funktionalanalytische Eigenschaften der Diskalgebra sind direkte Folgen funktionentheoretischer Sätze.

Definition

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Bezeichnet   die Kreisscheibe, so sei   die Menge aller stetigen Funktionen  , die im Inneren   holomorph sind.

Die Definitionen

 ,

wobei  , machen   zu einer komplexen Algebra mit Involution  . Diese wird Diskalgebra genannt.[1]

Offenbar ist   eine Unteralgebra der Funktionenalgebra   der stetigen Funktionen  . Die Diskalgebra   ist bezüglich der Maximumsnorm, die   zu einer Banachalgebra macht, abgeschlossen, denn nach dem weierstraßschen Konvergenzsatz sind gleichmäßige Limiten holomorpher Funktionen ebenfalls holomorph. Der Funktionenraum   ist daher selbst eine Banachalgebra, sogar mit isometrischer Involution, das heißt, es gilt   für alle  . Die Diskalgebra ist auch Unterbanachalgebra von  , der Banachalgebra aller auf   holomorphen und beschränkten Funktionen mit der Supremumsnorm.

Mittels Einschränkung auf den Rand   von   erhält man eine Abbildung  . Diese Abbildung ist nach dem Maximumprinzip für holomorphe Funktionen ein isometrischer Homomorphismus. In diesem Sinne kann man   auch als Unterbanachalgebra von   auffassen, das heißt die Diskalgebra wird zu einer uniformen Algebra über  .   ist dann die Menge aller stetigen Funktionen auf  , die sich holomorph nach   fortsetzen lassen. Dies wäre eine alternative Definition der Diskalgebra.

Die Diskalgebra wird von   erzeugt, das heißt, die kleinste Unterbanachalgebra, die diese Funktion enthält, ist die Diskalgebra selbst.[2]

Der Gelfandraum

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Für jedes   ist die Punktauswertung   ein Homomorphismus und damit ein Element des Gelfand-Raums   der Diskalgebra. Man kann zeigen, dass mit den   bereits alle Homomorphismen der Diskalgebra mit Werten in den komplexen Zahlen gefunden sind, und dass die Abbildung   ein Homöomorphismus ist, wobei die sogenannte Gelfandtopologie durch die relative schwach-*-Topologie auf   gegeben ist. Der Gelfandraum der Diskalgebra kann daher mit der Kreisscheibe identifiziert werden. Bei dieser Identifikation ist die Gelfand-Transformation die Identität auf der Diskalgebra.

Die Nicht-Regularität der Diskalgebra

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Auf dem Gelfandraum   einer kommutativen Banachalgebra betrachtet man die sogenannte Hülle-Kern-Topologie, die durch die Abschlussoperation

 

gegeben ist. Fällt diese mit der Gelfandtopologie zusammen, so nennt man die Banachalgebra regulär. Die Diskalgebra ist ein Beispiel für eine nicht-reguläre Banachalgebra.[3] In der Tat ist bei der Identifikation   die Menge   abgeschlossen in der Gelfandtopologie. Ist nun  , so folgt   für alle  , und aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen folgt  . Daher ist   und es folgt   bezüglich der Hülle-Kern-Topologie, letztere kann daher nicht mit der Gelfandtopologie übereinstimmen.

Der Schilowrand

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Identifiziert man   mit  , so fällt der topologische Rand   mit dem Schilow-Rand zusammen. Dazu ist zu zeigen, dass jede Funktion der Diskalgebra, die wegen der vorgenommenen Identifikation ja mit ihrer Gelfand-Transformierten übereinstimmt, ihr Betragsmaximum auf dem Rand der Kreisscheibe annimmt, aber das ist genau die Aussage des Maximumprinzips für holomorphe Funktionen.[4]

Maximalität

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Wie oben erwähnt kann man   mittels der Einschränkungsabbildung   als Unterbanachalgebra von   auffassen. Der Maximalitätssatz von Wermer sagt aus, dass   eine maximale Unterbanachalgebra ist.

Einzelnachweise

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  1. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.16
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §19.3
  3. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §23.9
  4. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §22.5 für n=1