Banachalgebra

Banachalgebren (nach Stefan Banach) sind mathematische Objekte der Funktionalanalysis, die einige bekannte Funktionenräume und Operatorenalgebren anhand wesentlicher gemeinsamer Eigenschaften verallgemeinern, z. B. Räume stetiger oder integrierbarer Funktionen oder Algebren stetiger linearer Operatoren auf Banachräumen.

Eine Banachalgebra ist ein Vektorraum, in dem zusätzlich auch eine Multiplikation und eine Norm so definiert sind, dass gewisse Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind.

DefinitionBearbeiten

Ein Vektorraum   über dem Körper   oder   der reellen oder komplexen Zahlen mit einer Norm   und einem Produkt   ist eine Banachalgebra, wenn gilt:

  •   ist ein Banachraum, also ein vollständiger normierter Vektorraum,
  •   ist eine assoziative  -Algebra,
  •   für alle  , d. h. die Norm ist submultiplikativ.

Wie auch in der Algebra allgemein üblich wird das Symbol für das Produkt gern weggelassen, nur im Falle der Faltung wird oft das Symbol   oder   verwendet. Verlangt man von   nur, dass es sich um einen normierten Raum handelt, das heißt, man verzichtet auf die Vollständigkeit, so erhält man den allgemeineren Begriff der normierten Algebra.

Spezielle Klassen von BanachalgebrenBearbeiten

Banach-*-Algebra oder involutive BanachalgebraBearbeiten

Eine Banach-*-Algebra   (über  ) ist eine Banachalgebra über   zusammen mit einer Involution  , so dass

  •  
(involutiv)
  •  
(anti-multiplikativ)
  •      
(semilinear, anti-linear oder konjugiert linear)
  •  
(isometrisch)

In anderen Worten, eine Banach-*-Algebra ist eine Banachalgebra und zugleich eine *-Algebra mit einer isometrischen Involution. Manche Autoren lassen die Bedingung der Isometrie fort und sprechen dann gegebenenfalls von einer Banach-*-Algebra mit isometrischer Involution. Die meisten in natürlicher Weise auftretenden Involutionen auf Banachalgebren sind allerdings isometrisch.

C*-Algebren und Von-Neumann-AlgebrenBearbeiten

Die Banachalgebra   der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum   motiviert die folgende Definition: Eine Banachalgebra  , auf der zusätzlich eine semilineare antimultiplikative Involution   gegeben ist, heißt C*-Algebra, wenn die sogenannte C*-Bedingung erfüllt ist:

  •   für alle  

Solche Banachalgebren lassen sich auf Hilberträumen darstellen. Sind diese dann in einer gewissen Topologie in der Operatorenalgebra über dem Hilbertraum abgeschlossen, so nennt man sie Von-Neumann-Algebren.

BeispieleBearbeiten

  • Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d. h.  =0 für alle Elemente   des Banachraums, zu einer Banachalgebra.
  • Sei   ein kompakter Raum und   der Raum der stetigen Funktionen  . Mit den punktweisen Operationen und der durch   (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm   wird   zu einer kommutativen C*-Algebra. Ebenso lassen sich der Raum der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum (was mittels der Stone-Čech-Kompaktifizierung gleichwertig ist) oder der Raum der C0-Funktionen, der stetigen Funktionen auf einem lokalkompakten Raum, die im Unendlichen verschwinden, betrachten.
  • Sei   der Einheitskreis in  . Es sei   die Algebra mit stetigen Funktionen  , die im Inneren von D holomorph sind. Mit den punktweisen Operationen und der durch   (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm wird   zu einer kommutativen Banach-*-Algebra, die keine C*-Algebra ist. Diese Banachalgebra nennt man auch die Diskalgebra.
  • Ist   ein Banachraum, so ist die Algebra   der stetigen, linearen Operatoren auf   eine Banachalgebra, die im Falle   nicht kommutativ ist. Ist   ein Hilbertraum, so ist   eine C*-Algebra.
  • H*-Algebren sind involutive Banachalgebren, die gleichzeitig Hilberträume sind, zusammen mit einer Zusatzbedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft.

GrundlagenBearbeiten

Es werden einige Grundlagen der Theorie der Banachalgebren besprochen, die ein Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften zeigen.

Das EinselementBearbeiten

Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein Einselement. Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines adjungieren. In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren Approximationen der Eins; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt. Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren  .

Die Gruppe der invertierbaren ElementeBearbeiten

Ist   eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe   der invertierbaren Elemente offen. Ist nämlich   invertierbar und   mit  , so ist auch   invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass   konvergiert und das Inverse zu   ist. Ferner ist das Invertieren   als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist   eine topologische Gruppe.

Das SpektrumBearbeiten

In der linearen Algebra spielt die Menge der Eigenwerte einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d. h. der Elemente der Banachalgebra  . Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei   eine  -Banachalgebra mit Einselement. Für   ist das Spektrum von  ,  , kompakt und nach dem Satz von Gelfand-Mazur nicht leer. Für den Spektralradius   gilt die Formel  . Diese Formel ist erstaunlich, da der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet, die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Für den Rest dieses Abschnitts sei   kommutativ mit Einselement. Die Menge   aller multiplikativen Funktionale   bezeichnet man als das Spektrum von  , oder nach Gelfand auch als Gelfand-Spektrum oder Gelfand-Raum von  . Das Spektrum von   ist ein kompakter Raum und die Gelfand-Transformation vermittelt einen Homomorphismus   von   in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf  . Jedem Element   wird so eine stetige Funktion   zugeordnet, wobei  . Das Spektrum eines Elementes   und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel   zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

Maximale IdealeBearbeiten

Sei   eine kommutative  -Banachalgebra mit Einselement. Ist  , so ist   ein maximales Ideal (mit Kodimension 1). Ist umgekehrt   ein maximales Ideal, so ist der Abschluss   wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss   gelten. Dann ist die Quotientenalgebra   eine Banachalgebra, die ein Körper ist, und dieser muss nach dem Satz von Gelfand-Mazur isomorph zu   sein. Daher ist die Quotientenabbildung   ein multiplikatives Funktional mit Kern  . Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit  , so hat man eine bijektive Abbildung:

 

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge   des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.

AnwendungenBearbeiten

  • Anwendung finden Banachalgebren u. a. in der Operatorentheorie, wie sie z. B. in der Quantenfeldtheorie benutzt wird.
  • Ferner gibt es die Erweiterung zu Von-Neumann-Algebren und Hilbert-Moduln und der abstrakten K- und KK-Theorie, welche auch als nichtkommutative Geometrie bezeichnet wird.
  • Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen zieht man in der harmonischen Analyse die Banachalgebren   und die Gruppen-C*-Algebren   heran.

LiteraturBearbeiten

  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. NF Bd. 80). Springer, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-06386-2.
  • Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Special Topics.Academic Press, New York NY u. a.;
    • Band 1: Elementary Theory (= Pure and applied mathematics. Vol. 100, 1). 1983, ISBN 0-12-393301-3;
    • Band 2: Advanced Theory (= Pure and applied mathematics. Vol. 100, 2). 1986, ISBN 0-12-393302-1.
  • Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90391-7 (2nd printing of the 1st edition. (= Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Vol. 124 = Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Operator Algebras and Non-Commutative Geometry. Vol. 5). Springer, New York u. a. 2002, ISBN 3-540-42248-X).