Eine H*-Algebra ist eine mathematische Struktur, die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht wird. Es handelt sich um eine involutive Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist, zusammen mit einer Bedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft. Dabei erhält man eine zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie.

Definition der H*-Algebra

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Eine involutive  -Banachalgebra   heißt H*-Algebra, wenn folgendes gilt:

  • Es gibt ein Skalarprodukt   auf  , so dass   für alle  
  • Für alle   gilt:   und  .

Dabei wird die Involution auf   mit * bezeichnet. Die erste Bedingung besagt gerade, dass die Banachalgebra   mit ihrer Banachalgebrennorm ein Hilbertraum ist. Jedes   definiert via Linksmultiplikation einen linearen Operator   und via Rechtssmultiplikation einen linearen Operator  . Die zweite Bedingung sagt dann, dass   (bzw.  ) die Hilbertraum-Adjungierte zu   (bzw.  ) ist, in Formeln   (bzw.  ), wobei der * auf der rechten Seite für die Hilbertraum-Adjunktion, das heißt für die Involution der C*-Algebra   der beschränkten linearen Operatoren auf dem Hilbertraum  , steht. Auf diese Weise hängt die Involution der Banachalgebra mit der Hilbertraumstruktur zusammen.

Beispiele

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  • Die Hilbert-Schmidt-Klasse   über einem Hilbertraum   ist eine H*-Algebra, wobei das Skalarprodukt durch   gegeben ist.
  • Sei   eine kompakte Gruppe und   der Hilbertraum L2(G). Mit der Faltung als Multiplikation und der durch   definierten Involution wird   zu einer H*-Algebra.
  • Sei   eine beliebige, nicht-leere Menge,   und   eine reelle Zahl. Für   und   definiere
 .
Mit diesen Definitionen wird   zu einer H*-Algebra, zur sogenannten vollen Matrixalgebra. Im Falle   ist die volle Matrixalgebra isometrisch isomorph zur Hilbert-Schmidt-Klasse  .
  • Ein kontinuierliches Analogon zur vollen Matrixalgebra erhält man wie folgt. Für Funktionen   definiere
 .
Mit diesen Definitionen wird der Hilbertraum   zu einer H*-Algebra.
  • Der Folgenraum   ist mit der komponentenweise erklärten Multiplikation und der durch die komponentenweise komplexe Konjugation definierten Involution eine kommutative H*-Algebra.

Strukturtheorie

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Die zum Satz von Artin-Wedderburn analoge Strukturtheorie der H*-Algebren wurde 1945 von Warren Ambrose aufgedeckt.

1. Struktursatz

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Eine H*-Algebra   zerfällt in eine orthogonale Summe  . Dabei ist   das Jacobson-Radikal von  , und  , der Abschluss aller endlichen Summen von Produkten zweier Elemente aus  , ist eine halbeinfache H*-Algebra, das heißt ihr Jacobson-Radikal ist  .

Das Produkt zweier Elemente des Radikals ist 0. Daher ist nur noch die Struktur halbeinfacher H*-Algebren zu untersuchen.

2. Struktursatz

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Eine halbeinfache H*-Algebra zerfällt in die orthogonale Summe der minimalen, abgeschlossenen, zweiseitigen Ideale und damit in eine direkte Summe einfacher H*-Algebren.

Dabei heißt eine H*-Algebra einfach, wenn sie keine nicht-trivialen, zweiseitigen, abgeschlossenen Ideale hat. Damit ist nur noch die Struktur einfacher H*-Algebren zu untersuchen.

3. Struktursatz

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Eine einfache H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer vollen Matrix-Algebra.

Damit ist die Struktur der H*-Algebren aufgedeckt: Eine H*-Algebra ist isometrisch isomorph zu einer orthogonalen Summe aus einem Hilbertraum mit der Nullmultiplikation und vollen Matrixalgebren. Der Hilbertraum mit der Nullmultiplikation ist das Jacobson-Radikal. Die einzelnen Summanden der direkten Summe können der Nullraum sein, sie werden dann weggelassen.

Siehe auch

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  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
  • Warren Ambrose: Structure Theorems for a special class of Banach-Algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 57 (1945), Seiten 364–386