Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-ModulnBearbeiten

Im Folgenden sei   ein Ring mit Eins und   ein R-Linksmodul.

DefinitionBearbeiten

Der Durchschnitt aller maximalen  -Untermoduln von   wird als (Jacobson-)Radikal   (oder kurz  ) bezeichnet.

Ist   endlich erzeugt, so gilt:  . Dabei heißt ein Element   von   überflüssig, wenn für jeden Untermodul   gilt: Aus   folgt bereits  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   endlich erzeugt und   ein Untermodul von   mit  , dann ist bereits  . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
  • Ist   endlich erzeugt und  , dann ist  . (Dies ist der Spezialfall   der vorigen Aussage.)
  •   gilt genau dann, wenn   isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher  -Moduln ist.
  •   ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn   artinsch und   ist.

Jacobson-Radikal von RingenBearbeiten

Im Folgenden sei   ein Ring mit Eins.

DefinitionBearbeiten

Das Jacobson-Radikal des Ringes   wird als das Jacobson-Radikal des  -Linksmoduls   definiert. Es wird als   notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

  • als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
  • als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links- -Moduln / Rechts- -Moduln
  •  
  •  
  •  

EigenschaftenBearbeiten

  • Der Ring   ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und   ist.
  • Für jeden linksartinschen Ring   ist der Ring   halbeinfach.
  • Ist   linksartinsch, dann gilt für jeden  -Linksmodul  :  .
  •   ist das kleinste Ideal   von   mit der Eigenschaft, dass   halbeinfach ist.
  • Ist   ein Nillinksideal von  , dann gilt:  .
  • Ist   linksartinsch, dann ist   ein nilpotentes Ideal.
  • Ist   linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
  • Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring   die Existenz maximaler Ideale, für   gilt also  .

BeispieleBearbeiten

  • Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist  ; ebenso das Jacobson-Radikal von  .
  • Das Jacobson-Radikal von   ist  .
  • Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen  -Dreiecksmatrizen über einem Körper   enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
  • Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
  • Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

LiteraturBearbeiten