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Darstellungstheorie

Teilgebiet der Mathematik

In der Darstellungstheorie werden Elemente von Gruppen oder allgemeiner von Algebren mittels Homomorphismen auf lineare Abbildungen von Vektorräumen (Matrizen) abgebildet.

Die Darstellungstheorie hat Anwendungen in fast allen Gebieten der Mathematik und der theoretischen Physik. So war ein darstellungstheoretischer Satz von Robert Langlands ein wesentlicher Schritt für Andrew Wiles' Beweis des Großen Satzes von Fermat, und die Darstellungstheorie lieferte ebenfalls den theoretischen Hintergrund für die Vorhersage, dass Quarks existieren.[1] Auch für die rein algebraische Untersuchung der Gruppen oder Algebren ist die Darstellung durch Matrizen oft nützlich.

Arten von DarstellungenBearbeiten

Klassisch beschäftigte sich Darstellungstheorie mit Homomorphismen   für Gruppen   und Vektorräume   (wobei   die allgemeine lineare Gruppe über   bezeichnet), siehe

Allgemeiner wird die Darstellungstheorie von Ringen und Algebren betrachtet, welche die Darstellungstheorie der Gruppen als Spezialfall enthält (weil jede Darstellung einer Gruppe eine Darstellung ihres Gruppenringes induziert), hierfür siehe

In der Physik sind neben den diskreten Gruppen der Festkörperphysik besonders auch Darstellungen von Lie-Gruppen von Bedeutung, etwa bei der Drehgruppe und den Gruppen des Standardmodells. Hier verlangt man zusätzlich, dass Darstellungen glatte Homomorphismen   sein sollen, siehe

Die Lie'schen Sätze vermitteln eine Korrespondenz zwischen Darstellungen von Lie-Gruppen und den induzierten Darstellungen   ihrer Lie-Algebren. Für die Darstellungstheorie von Lie-Algebren siehe

Lie-Algebren sind nicht assoziativ, weshalb ihre Darstellungstheorie kein Spezialfall der Darstellungstheorie assoziativer Algebren ist. Man kann aber jeder Lie-Algebra ihre universelle einhüllende Algebra zuordnen, welche eine assoziative Algebra ist.

GrundbegriffeBearbeiten

Im Folgenden sei   eine Gruppe, Lie-Gruppe oder Algebra und   eine Darstellung von  , also ein Gruppen-, Lie-Gruppen- oder Algebren-Homomorphismus in die Algebra   der linearen Abbildungen eines Vektorraums   (dessen Bild im Falle von Gruppen- oder Lie-Gruppen-Isomorphismen natürlich sogar in   liegt).

Die Vektorraumdimension von   wird als Dimension von   bezeichnet. Endlichdimensionale Darstellungen nennt man auch Matrix-Darstellungen, denn durch Wahl einer Vektorraumbasis lässt sich jedes Element aus   als Matrix schreiben. Injektive Darstellungen heißen treu.

Zwei Darstellungen   und   heißen äquivalent, wenn es einen Vektorraum-Isomorphismus   gibt mit   für alle  . Dafür schreibt man abkürzend auch  . Die so definierte Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse aller Darstellungen. Die Begriffsbildungen in der Darstellungstheorie sind so angelegt, dass sie beim Übergang zu einer äquivalenten Darstellung erhalten bleiben, Dimension und Treue sind erste Beispiele.

TeildarstellungenBearbeiten

Sei   eine Darstellung. Ein Untervektorraum   heißt invariant (genauer  -invariant), falls   für alle  .

Offenbar ist

 

wieder eine Darstellung von  , die man die Einschränkung von   auf   nennt und mit   bezeichnet.

Ist   ein zu   komplementärer Unterraum, der ebenfalls invariant ist, so gilt  , wobei die Äquivalenz durch den Isomorphismus   vermittelt wird.

Direkte SummenBearbeiten

Sind   und   zwei Darstellungen, so definiert

 

wieder eine Darstellung von  , wobei   komponentenweise auf der direkten Summe   operiert, das heißt   für alle  . Diese Darstellung nennt man die direkte Summe aus   und   und bezeichnet sie mit  .

Diese Konstruktion lässt sich für direkte Summen beliebig vieler Summanden verallgemeinern. Ist   eine Familie von Darstellungen, so auch

 .

Irreduzibilität, Vollständige Reduzibilität, AusreduzierungBearbeiten

Eine Darstellung   heißt irreduzibel, wenn es außer   und   keine weiteren invarianten Unterräume von   gibt. Für eine äquivalente Charakterisierung siehe Lemma von Schur. Eine Darstellung heißt vollständig reduzibel, wenn sie zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen äquivalent ist. Das „Produkt“ (besser: Tensorprodukt) zweier (irreduzibler) Darstellungen ist i.a. reduzibel und kann nach Bestandteilen der irreduziblen Darstellungen „ausreduziert“ werden, wobei spezielle Koeffizienten wie z. B. die Clebsch-Gordan-Koeffizienten der Drehimpulsphysik entstehen. Dies ist für die Anwendungen in der Physik ein besonders wichtiger Aspekt.

GeschichteBearbeiten

Im 18. und 19. Jahrhundert kamen Darstellungstheorie und Harmonische Analysis (in Form der Zerlegung von Funktionen in multiplikative Charaktere) abelscher Gruppen wie  ,   oder   beispielsweise im Zusammenhang mit Euler-Produkten oder Fourier-Transformationen vor. Dabei arbeitete man aber nicht mit den Darstellungen, sondern mit deren multiplikativen Charakteren. Frobenius definierte 1896 zuerst (ohne explizit auf Darstellungen Bezug zu nehmen) einen Begriff multiplikativer Charaktere auch für nichtabelsche Gruppen, Burnside und Schur entwickelten seine Definitionen dann neu auf der Basis von Matrix-Darstellungen und Emmy Noether gab schließlich im Wesentlichen die heutige Definition mittels linearer Abbildungen eines Vektorraumes, was später die in der Quantenmechanik benötigte Untersuchung unendlich-dimensionaler Darstellungen ermöglichte.

Um 1900 wurde die Darstellungstheorie der symmetrischen und alternierenden Gruppen von Frobenius und Young ausgearbeitet. 1913 bewies Cartan den Satz vom höchsten Gewicht, der die irreduziblen Darstellungen komplexer halbeinfacher Lie-Algebren klassifiziert. Schur beobachtete 1924, dass man mittels invarianter Integration die Darstellungstheorie endlicher Gruppen auf kompakte Gruppen ausdehnen kann, die Darstellungstheorie kompakter zusammenhängender Lie-Gruppen wurde dann von Weyl entwickelt. Die von Haar und von Neumann bewiesene Existenz und Eindeutigkeit des Haar-Maßes erlaubte dann Anfang der 30er Jahre die Erweiterung dieser Theorie auf kompakte topologische Gruppen. Weitere Entwicklungen betrafen dann die Anwendung der Darstellungstheorie lokal kompakter Gruppen wie der Heisenberggruppe in der Quantenmechanik, die Theorie lokal kompakter abelscher Gruppen mit Anwendungen in der Algebraischen Zahlentheorie (Harmonische Analysis auf Adelen) und später das Langlands-Programm.[2]

LiteraturBearbeiten

  • Etingof, Golberg, Hensel, Liu, Schwendner, Vaintrob, Yudovina: Introduction to Representation Theory. AMS, 2011. ISBN 978-0-8218-5351-1.
  • Roe Goodman, Nolan R. Wallach: Symmetry, representations, and invariants. (= Graduate Texts in Mathematics. 255). Springer, Dordrecht 2009, ISBN 978-0-387-79851-6.
  • Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
  • Theodor Bröcker, Tammo tom Dieck: Representations of compact Lie groups. (= Graduate Texts in Mathematics. 98). Translated from the German manuscript. Corrected reprint of the 1985 translation. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-13678-9.
  • J. L. Alperin, Rowen B. Bell: Groups and representations. (= Graduate Texts in Mathematics. 162). Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94525-3.
  • William Fulton, Joe Harris: Representation theory. A first course. (= Graduate Texts in Mathematics. 129). Readings in Mathematics. Springer-Verlag, New York 1991, ISBN 0-387-97527-6; 0-387-97495-4
  • V. S. Varadarajan: Lie groups, Lie algebras, and their representations. (= Graduate Texts in Mathematics. 102). Reprint of the 1974 edition. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 0-387-90969-9.
  • James E. Humphreys: Introduction to Lie algebras and representation theory. (= Graduate Texts in Mathematics. 9). Second printing, revised. Springer-Verlag, New York/ Berlin 1978, ISBN 0-387-90053-5.
  • Charles W. Curtis: Pioneers of representation theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer. (= History of Mathematics. 15). American Mathematical Society, Providence, RI/ London Mathematical Society, London 1999, ISBN 0-8218-9002-6.

WeblinksBearbeiten

Zur Geschichte der Darstellungstheorie:

  • Anthony W. Knapp: Group representations and harmonic analysis from Euler to Langlands. In: Notices of the American Mathematical Society. 43, 4, 1996, Teil 1; 43, 5, 1996, Teil 2.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Einleitung zu Knapp (op. cit.)
  2. Teil 2 von Knapp (op. cit.)