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Die Sprechweise, dass eine Eigenschaft fast überall gilt, stammt aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, und ist eine Abschwächung dafür, dass die Eigenschaft für alle Elemente einer Menge gilt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum   und eine Eigenschaft  , die für alle Elemente von   sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft   fast überall (oder  -fast überall oder für  -fast alle Elemente) gilt, wenn es eine  -Nullmenge   gibt, sodass alle Elemente im Komplement   der Nullmenge die Eigenschaft haben.

BemerkungBearbeiten

Wichtig ist, dass die Eigenschaft   wirklich für alle  , also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der   nicht gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei vollständigen Maßen fällt beides zusammen.

BeispieleBearbeiten

Lebesgue-MaßBearbeiten

Betrachten wir als Beispiel den Maßraum  , das heißt das abgeschlossene Einheitsintervall von 0 bis 1, versehen mit der Borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Betrachtet man nun die Funktionenfolge

 ,

so konvergiert diese auf   gegen 0, auf der Punktmenge   ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie  -fast überall gegen 0.

Die Dirichlet-Funktion

 

auf dem Einheitsintervall ist  -fast überall gleich 0, denn  .

Dirac-MaßBearbeiten

Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem Dirac-Maß auf der 1 ( ). Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall   ist eine  -Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge   mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge  -fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist  -fast überall gleich 1, denn  .

Die Wahl und Angabe des verwendeten Maßes ist also essentiell für die Verwendung der Sprechweise „fast überall“.

Fast sicherBearbeiten

In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum   eine Eigenschaft, die fast überall gilt, auch als fast sichere (oder  -fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

AnwendungBearbeiten

Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum   und eine messbare Funktion  .

Aus       folgt       fast überall.

Beweis: Wäre nicht   fast überall, so wäre   und es gäbe ein   mit  . Da  , folgt  , im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss   fast überall sein.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten