Vollständiges Maß

Maßtheorie

Ein vollständiges Maß sowie ein vollständiger Maßraum sind Begriffe aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt. Ein Maßraum ist vollständig, wenn er alle Teilmengen seiner Nullmengen enthält. Das zum Maßraum zugehörige Maß heißt dann vollständig.

DefinitionBearbeiten

Ein Maßraum   heißt vollständig, wenn

 .

Ist der Maßraum vollständig, so nennt man auch das Maß   vollständig.

Vervollständigung von MaßräumenBearbeiten

Sei   ein Maßraum und

 

und ein eindeutiges Maß  , sodass

 .

Das Tripel   ist ein vollständiger Maßraum. Er heißt die Vervollständigung von  .

Äquivalente Definitionen von   sind

 .

BeispieleBearbeiten

Ist ein äußeres Maß   gegeben und ist   die σ-Algebra der  -messbaren Mengen sowie   das zugehörige Maß, so ist der Maßraum   vollständig. Dies folgt schon aus der Definition der  -Messbarkeit, da wenn   ist mit  , so folgt aus den Eigenschaften des äußeren Maßes   und daher  .

Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

Ein Beispiel für einen Maßraum  , der nicht vollständig ist, ist durch  ,   und   gegeben. Für   gilt   und für jede echte Teilmenge   von   gilt  .

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rn und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.