Ein Monoidring kann als Verallgemeinerung eines Polynomrings aufgefasst werden. Dabei werden die Potenzen der Variablen durch Elemente aus einem Monoid ersetzt, was im Folgenden exakt definiert wird.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring mit Eins und   ein Monoid, dann ist

 

mit der Addition

 

und der Faltung

 

als Multiplikation ein Ring. Die Konstruktion ist der des Polynomrings nachempfunden. Man schreibt   oder einfach   für die Abbildung  , die an der Stelle   den Wert   und ansonsten   annimmt. Beispielsweise gilt dann

 

  besitzt ein Einselement, nämlich  , wobei   das Einselement von   und   das Neutralelement von   ist.

Ist   eine Gruppe, so heißt   Gruppenring oder Gruppenalgebra; auch die Schreibweise   ist üblich.

  wird zur  -Algebra via  

EigenschaftenBearbeiten

  •   ist genau dann ein kommutativer Ring, wenn   als Monoid kommutativ ist oder   der Nullring ist.
  • Jedes Element   lässt sich eindeutig schreiben als   mit  
  • Falls   nicht der Nullring ist, sind   und   auf natürliche Weise in   eingebettet, nämlich durch die injektiven Ring- bzw. Monoidhomomorphismen   und  , wobei   wie oben definiert ist.
  • Falls   der Nullring ist, dann ist   isomorph zum Nullring
  • Falls   ein Monoid ist,   kommutative Ringe und   ein Ringhomomorphismus, dann gibt es einen eindeutigen Homomorphismus  . sodass  

Universelle EigenschaftBearbeiten

Der Monoidring bzw. die Monoidalgebra kann auch – bis auf Isomorphie – über eine universelle Eigenschaft definiert werden. Seien   und   wie oben definiert. Es bezeichne   die Kategorie der Monoide und   die Kategorie der (assoziativen)  -Algebren. Sei   der Vergissfunktor, d. h. der Funktor, der jeder  -Algebra ihr multiplikatives Monoid zuordnet.

Dann ist die kanonische Einbettung   universell, d. h.: Falls wir noch einen anderen Monoid-Homomorphismus   in das multiplikative Monoid einer  -Algebra   haben, dann existiert genau ein  -Algebra-Homomorphismus  , so dass  .

In der obigen Konstruktion der Monoidalgebra sieht   wie folgt aus:  .

Wenn wir den Funktor, der jedem Monoid seine Monoidalgebra über   zuordnet, mit   bezeichnen, ist also   linksadjungiert zu  . So erhalten wir eine sehr kurze Definition der Monoidalgebra, jedoch muss man immer noch die Existenz beweisen.

BeispieleBearbeiten

  •   ist isomorph zum Polynomring in einer Unbestimmten über  .
  • Ist allgemeiner   ein freies kommutatives Monoid in   Erzeugern, so ist   isomorph zum Polynomring in   Unbestimmten über  .

SpezialfälleBearbeiten

  • Es sei   eine lokalkompakte topologische Gruppe. Ist   nicht diskret, so enthält der Gruppenring   keine Information über die topologische Struktur von  . Deshalb nimmt seine Rolle die Faltungsalgebra der integrierbaren Funktionen ein: es sei   ein linksinvariantes Haarmaß auf  . Dann bildet der Raum   mit der Faltung
 
als Produkt eine Banachalgebra.
  • Ist   ein Ring und   eine totalgeordnete Gruppe, deren Ordnung kompatibel mit der Gruppenoperation ist, d. h.
aus   und   folgt  
so sei
 
mit   Mit der Faltung als Multiplikation und der komponentenweisen Addition wird   zu einem Ring. Ist   ein Körper, so ist   ein Schiefkörper. Ist beispielsweise   mit der natürlichen Ordnung, so ist   der Ring der formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in  .

LiteraturBearbeiten

  • Serge Lang: Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition (Springer, 2002, ISBN 0-387-95385-X)