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Sattelpunkt von in (0,0)

In der Mathematik bezeichnet man als Sattelpunkt, Terrassenpunkt oder Horizontalwendepunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, der kein Extrempunkt ist. Punkte dieser Art sind, wie die zuletzt genannte Bezeichnung es andeutet, Spezialfälle von Wendepunkten. Sattelpunkte spielen beispielsweise eine große Rolle bei der Optimierung unter Nebenbedingungen bei Verwendung der Lagrange-Dualität.

Inhaltsverzeichnis

Eindimensionaler FallBearbeiten

 
Sattelpunkt von   in (0,0)

Für Funktionen einer Veränderlichen   mit   ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle  

 

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle nicht gleich 0, so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muss die 2. Ableitung 0 sein, wenn sie existiert. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung (für zweimal stetig differenzierbare Funktionen), wie man an der Funktion   sieht.

Umgekehrt gilt (hinreichende Bedingung): Sind die ersten beiden Ableitungen gleich 0 und die 3. Ableitung ungleich 0, so liegt ein Sattelpunkt vor; es handelt sich also um einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

Dieses Kriterium lässt sich verallgemeinern: Gilt für ein  

 

sind also die ersten   Ableitungen gleich 0 und die  -te Ableitung ungleich 0, so hat der Graph von   bei   einen Sattelpunkt.

Die genannte Bedingung ist allerdings nicht notwendig. Auch wenn ein Sattelpunkt an der Stelle   vorhanden ist, können alle Ableitungen   gleich 0 sein.

Man kann einen Terrassenpunkt im eindimensionalen Fall als einen Wendepunkt mit Tangente parallel zur x-Achse interpretieren.

Beispiel für eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) mit zwei SattelpunktenBearbeiten

 
ganzrationale Funktion 5. Grades mit zwei Sattelpunkten in (−2, −34) und (1, 47)

Bereits ganzrationale Funktionen 5. Grades können zwei Sattelpunkte haben, wie folgendes Beispiel zeigt:

 

Denn die 1. Ableitung hat zwei doppelte Nullstellen −2 und 1:

 

Für die 2. Ableitung

 

sind −2 und 1 ebenfalls Nullstellen, jedoch ist die 3. Ableitung

 

dort ungleich Null:

 

Deshalb sind   und   Sattelpunkte der Funktion  .

Mehrdimensionaler FallBearbeiten

 
Sattelpunkt (rot) im Fall  

Spezifikation über AbleitungenBearbeiten

Für Funktionen mehrerer Veränderlicher (Skalarfelder)   mit   ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle  

 

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Die Bedingung bedeutet, dass an der Stelle   alle partiellen Ableitungen null sind. Ist zusätzlich die Hesse-Matrix indefinit, so liegt ein Sattelpunkt vor.

Spezifikation direkt über die FunktionBearbeiten

Im generischen Fall – das bedeutet, dass die zweite Ableitung in keiner Richtung verschwindet oder, äquivalent, die Hessesche Matrix invertierbar ist – hat die Umgebung eines Sattelpunktes eine besondere Gestalt. Für den Fall, dass ein solcher Sattelpunkt mit den Koordinatenachsen ausgerichtet ist, lässt sich ein Sattelpunkt auch ganz ohne Ableitungen in einfacher Weise beschreiben: Ein Punkt   ist ein Sattelpunkt der Funktion  , falls eine offene Umgebung   von   existiert, sodass

Sattelpunkt im dreidimensionalen Raum (Animation)
  bzw.  

für alle   erfüllt ist. Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionswert von   in  -Richtung kleiner wird, sobald der Sattelpunkt verlassen wird, während ein Verlassen des Sattelpunktes in  -Richtung ein Ansteigen der Funktion   zur Folge hat (bzw. umgekehrt). Diese Beschreibung eines Sattelpunktes ist Ursprung der Namensgebung: Ein Reitsattel neigt sich senkrecht zur Wirbelsäule des Pferdes nach unten, stellt also die  -Richtung dar, während er in  -Richtung, d. h. parallel zur Wirbelsäule, nach oben ausgeformt ist. Nach dem Reitsattel ist auch der Bergsattel benannt, dessen Gestalt ebenfalls der Umgebung eines Sattelpunkts entspricht.

Falls der Sattelpunkt nicht in Koordinatenrichtung ausgerichtet ist, stellt sich die obige Beziehung nach einer Koordinatentransformation ein.

Sattelpunkte dieses Typs existieren in Dimension 1 nicht: Falls hier die zweite Ableitung nicht verschwindet, liegt automatisch ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vor. Den Beispielen aus Dimension 1 entsprechen degenerierte kritische Punkte, wie zum Beispiel der Nullpunkt für die Funktion   oder für  : In beiden Fällen existiert eine Richtung, in der die zweite Ableitung verschwindet, und entsprechend ist die Hessesche Matrix nicht invertierbar.

BeispieleBearbeiten

Die Funktion

 

hat den Sattelpunkt  : Ist  , so ist   für alle  . Für   ergibt sich

 .

Dass   ein Sattelpunkt von   ist, lässt sich auch über das Ableitungskriterium beweisen. Es ist

 

und nach Einsetzen von   ergibt sich  . Die Hesse-Matrix zu   ist

 ,

und nach Einsetzen des Sattelpunktes  :

 

Da ein Eigenwert von   positiv ist   und einer negativ  , ist die Hesse-Matrix indefinit, was nachweist, dass tatsächlich ein Sattelpunkt vorliegt.

Sonstige VerwendungBearbeiten

Für die Definition im Fall von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen siehe Autonome Differentialgleichung.

Siehe auchBearbeiten