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Quadratische Funktion

mathematische Funktion
Die Normalparabel, der Graph der Quadratfunktion

Eine quadratische Funktion (auch ganzrationale Funktion zweiten Grades) ist eine Funktion, die als Funktionsterm ein Polynom vom Grad 2 besitzt, also von der Form

mit

ist. Der Graph ist die Parabel mit der Gleichung . Für ergibt sich eine lineare Funktion.

Die Funktionen der Form mit (also ) heißen spezielle quadratische Funktionen. Die Funktion mit heißt Quadratfunktion.

Quadratfunktion und spezielle quadratische Funktion

Die Funktion   mit der Zuordnungsvorschrift   heißt Quadratfunktion. Ihr Graph ist eine nach oben geöffnete, zur y-Achse symmetrische Parabel, deren Scheitelpunkt im Koordinatenursprung liegt, die Normalparabel.

Eine Funktionen der Form   mit   heißt spezielle quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine zur  -Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung. Diese entsteht aus der Normalparabel durch Strecken oder Stauchen in Richtung der  -Achse und gegebenenfalls Spiegeln an der  -Achse:

 : Die Parabel ist nach oben geöffnet.
 : Die Parabel ist nach unten geöffnet.
 : Der Graph ist in Richtung der  -Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
 : Der Graph ist in Richtung der  -Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für  : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der  -Achse gespiegelt.

Allgemeine quadratische Funktion

Die Zuordnungsvorschrift der allgemeinen quadratischen Funktion ist  . Die Koeffizienten  ,   und   bestimmen den Wertebereich und die Form des Graphen.

Parameter a

Wie der Wert von   die Form des Graphen verändert, kann man am besten erkennen, wenn man   und   setzt. Man erhält dann eine gestreckte oder gestauchte und gegebenenfalls an der  -Achse gespiegelte Normalparabel.

 : Der Graph ist nach oben geöffnet.
 : Der Graph ist nach unten geöffnet.
 : Der Graph ist in Richtung der  -Achse gestaucht, d. h. in der Länge zusammengedrückt, wodurch er breiter erscheint und flacher ist.
 : Der Graph ist in Richtung der  -Achse gestreckt, d. h. in die Länge gezogen, wodurch er schmaler erscheint und steiler ist.

Für  : ist der Graph im Vergleich zur Normalparabel einfach an der  -Achse gespiegelt.

Parameter c

Es gilt  . Der Parameter   ist also der  -Wert des Schnittpunkts der Parabel mit der  -Achse. Eine Veränderung des Parameters   bewirkt eine Verschiebung in  -Richtung. Wird   um eins erhöht, dann wird der Graph um eine Einheit nach oben verschoben. Wird   um eins verringert, wird der Graph dagegen um eine Einheit nach unten verschoben.

Parameter b

Der Parameter   gibt die Steigung der Parabel im Schnittpunkt mit der  -Achse an. Insbesondere kann man am Vorzeichen von   erkennen, ob die  -Achse mit dem fallenden oder dem ansteigenden Ast der Parabel geschnitten wird. Hieraus lassen sich wiederum Rückschlüsse über die Zahl und die mögliche Lage von Nullstellen ziehen.

Eine Veränderung des Parameters   bewirkt eine Verschiebung sowohl in  - als auch in  -Richtung. Wird   um eins erhöht, dann wird der Graph um   Einheiten nach links und   nach unten verschoben. Wird   um eins verringert, wird der Graph dagegen um   Einheiten nach rechts und   nach oben verschoben.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist maßgeblich für die Lage der Parabel und repräsentiert entweder das absolute Minimum (falls   positiv ist) oder das absolute Maximum (wenn   negativ ist). Die Koordinaten des Scheitelpunkts lassen sich direkt ablesen, wenn der Funktionsterm in der Scheitelpunktform vorliegt:

 .

Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten  . Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Parallele zur  -Achse durch  .

Zur Bestimmung des Scheitelpunkts bzw. der Scheitelpunktform gibt es mehrere Methoden:

Bestimmung der Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung

Die Scheitelpunktform kann aus der Darstellung   durch quadratische Ergänzung bestimmt werden.

Beispiel: Bestimmung der Scheitelform der quadratischen Funktion  .

  Die ursprüngliche Funktionsgleichung
  Der Faktor   vor dem   wurde ausgeklammert, wobei das konstante Glied + 5 ausgeschlossen bleibt.
  Es wird eine quadratische Ergänzung zu   durchgeführt.
  Durch die quadratische Ergänzung ist es leicht möglich, mithilfe der binomischen Formeln aus einem Teil des Terms ein Quadrat herauszuziehen.
  Nun wurde noch die Klammer mit dem Faktor 2 wieder aufgelöst, um den Term zu vereinfachen.
  In der Endform lässt sich nun der Scheitelpunkt   ablesen.

Bestimmung des Scheitelpunkts mit Hilfe der Ableitung

Eine weitere Möglichkeit zur Berechnung des Scheitelpunktes bietet die Differentialrechnung. Da der Scheitelpunkt immer eine (lokale) Extremstelle (Maximum bzw. Minimum) ist, liefert die Nullstelle der ersten Ableitung der Funktion den  -Wert des Scheitelpunktes:

 ,
 

Durch Einsetzen ergibt sich der  -Wert:

 

Beispiel: Bestimmung des Scheiteilpunkts der quadratischen Funktion  .

  Die ursprüngliche Funktionsgleichung
  Die 1. Ableitung der Funktion
  Bestimmung der Nullstelle der 1. Ableitung durch Gleichsetzen mit null
    einsetzen in  
    berechnen

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten  .

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen   der quadratischen Funktion bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

 .

Schnittpunkt mit der y-Achse

Wegen   hat der Schnittpunkt des Graphen mit der  -Achse die Koordinaten  .

Nullstellen einer quadratischen Funktion

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion ergeben sich durch Lösung der Gleichung  , das heißt der quadratischen Gleichung

 .

Diese lassen sich mit Hilfe der abc-Formel berechnen:

 

Nimmt der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) einen negativen Wert an, so bedeutet dies, dass keine (reellen) Nullstellen existieren.

Nullstellen und Linearfaktoren

Sind   und   die Nullstellen der quadratischen Funktion  , so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

 

Schnittpunkt von Parabel und Gerade

  sei die Funktionsgleichung einer Parabel und   die einer Geraden. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen   quadratische Gleichung. Falls nun:

  Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten (Sekante).
  Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt (Tangente).
  Die Parabel und die Gerade haben keinen Schnittpunkt (Passante).

Schnittpunkt zweier Parabeln

  seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln. Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen   quadratische Gleichung. Falls nun:

  Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.
  Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.
  Die Parabeln haben keinen Schnittpunkt.
  ist eine lineare Gleichung   Die Parabeln haben einen Schnittpunkt.

Literatur

  • Karin Hantschel, Lutz Schreiner, Michael Bornemann, Wiebke Salzmann: Wissen - Üben - Testen: Mathematik 9. Klasse. Bibliographisches Institut, 2017, ISBN 9783411912315, S. 27–34
  • Heinz Rapp: Mathematik für die Fachschule Technik. Springer, 2015, ISBN 9783834809148, S. 156–170

Weblinks