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Distribution (Mathematik)

mathematischer Begriff

Eine Distribution bezeichnet im Bereich der Mathematik eine besondere Art eines Funktionals, also ein Objekt aus der Funktionalanalysis.

Die Theorie der Distributionen ermöglicht es, eine Art von Lösungen für Differentialgleichungen zu definieren, die im klassischen Sinn nicht hinreichend oft differenzierbar oder gar nicht definiert sind (siehe distributionelle Lösung). In diesem Sinne können Distributionen als eine Verallgemeinerung des Begriffs der Funktion angesehen werden. Es gibt partielle Differentialgleichungen, die keine klassischen Lösungen, aber Lösungen im distributionellen Sinn haben. Die Theorie der Distributionen ist daher insbesondere in der Physik und in den Ingenieurwissenschaften wichtig: Viele der dort untersuchten Probleme führen nämlich zu Differentialgleichungen, die nur mit Hilfe der Theorie der Distributionen gelöst werden konnten.

Der Mathematiker Laurent Schwartz war maßgeblich an der Untersuchung der Theorie der Distributionen beteiligt. Im Jahr 1950 veröffentlichte er den ersten systematischen Zugang zu dieser Theorie. Für seine Arbeiten über die Distributionen erhielt er die Fields-Medaille.

Geschichte der DistributionentheorieBearbeiten

 
Jacques Hadamard

Im Jahr 1903 führte Jacques Hadamard den für die Distributionentheorie zentralen Begriff des Funktionals ein. Aus heutiger Sicht ist ein Funktional eine Funktion, die anderen Funktionen eine Zahl zuordnet. Hadamard konnte zeigen, dass jedes stetige, lineare Funktional   als Grenzwert einer Folge von Integralen

 
 
Paul Dirac, 1933

dargestellt werden kann. In dieser Darstellung dürfen Grenzwert und Integral im Allgemeinen nicht vertauscht werden. Im Jahr 1910 konnte gezeigt werden, dass jedes stetige, lineare Funktional auf  , dem Raum der p-integrierbaren Funktionen, als

 

mit   und   dargestellt werden kann. Bei dieser Formulierung muss kein Grenzwert gebildet werden und   ist eindeutig bestimmt. Deshalb wird das Funktional   oft mit der „Funktion“   identifiziert. Dann hat   zwei unterschiedliche Bedeutungen: Zum einen versteht man   als  -„Funktion“, zum anderen wird es mit dem Funktional   gleichgesetzt.

Als erster beschäftigte sich Paul Dirac in den 1920er Jahren bei Forschungen in der Quantenmechanik mit Distributionen.[1] Er führte dabei die wichtige Delta-Distribution ein. Jedoch benutzte er noch keine mathematisch präzise Definition für diese Distribution. Er ließ bei seinen Untersuchungen die damalige Funktionalanalysis, also die Theorie der Funktionale, außer Acht. In den 1930er Jahren beschäftigte sich Sergei Lwowitsch Sobolew mit Anfangswertproblemen bei partiellen hyperbolischen Differentialgleichungen. Für diese Untersuchungen führte er die heute nach ihm benannten Sobolew-Räume ein. Im Jahr 1936 untersuchte Sobolew hyperbolische Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit analytischen Koeffizientenfunktionen. Um ein griffigeres Kriterium für die Existenz einer Lösung dieser partiellen Differentialgleichung angeben zu können, erweiterte Sobolew die Fragestellung auf den Raum der Funktionale.[2] Damit war er der erste, der die heutige Definition einer Distribution formulierte. Er entwickelte allerdings noch keine umfassende Theorie aus seinen Definitionen, sondern verwendete sie nur als Hilfsmittel zur Untersuchung partieller Differentialgleichungen.

 
Laurent Schwartz, 1970

Schließlich entwickelte Laurent Schwartz die Theorie der Distributionen im Winter 1944/45. Zu diesem Zeitpunkt waren ihm Sobolews Arbeiten noch unbekannt, doch stieß auch er genau wie Sobolew durch Fragen im Bereich der partiellen Differentialgleichungen auf spezielle Funktionale, die er nun Distributionen nannte.[3] Von da an wurde die Theorie derart schnell weiterentwickelt, dass Schwartz darüber schon im Winter 1945/46 Vorlesungen in Paris halten konnte. Elektrotechniker, die seine Vorlesungen besuchten, drängten ihn dazu, seine Theorie in Richtung der Fourier- und der Laplacetransformationen weiterzuentwickeln. Im Jahr 1947 hatte Schwartz den Raum der temperierten Distributionen definiert und damit die Fourier-Transformationen in seine Theorie integriert. 1950/51 erschien seine Monografie Theorie des Distributions, wodurch seine Theorie weiter gefestigt wurde. Schon 1950 erhielt er für seine Forschungen im Bereich der Distributionen die Fields-Medaille, eine der höchsten Auszeichnungen im Bereich der Mathematik.

Die Theorie der Distributionen wurde von da an in der theoretischen Physik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen weiterentwickelt. Die Distributionentheorie ist nützlich, um singuläre Objekte der Physik wie zum Beispiel die elektromagnetische Punktladung oder die Punktmasse mathematisch präzise zu beschreiben. Diese beiden physikalischen Objekte können mit Hilfe der Delta-Distribution geeignet beschrieben werden, denn von der räumlichen Dichtefunktion eines Massenpunktes mit Einheitsmasse wird gefordert, dass sie überall verschwindet, außer an einem Punkt. Dort muss sie unendlich werden, da das Raumintegral über die Dichtefunktion 1 ergeben soll (Einheitsmasse). Es gibt keine Funktion im üblichen Sinn, die diese Forderungen erfüllt. In der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Fourieranalyse sind Distributionen wichtig, da mit dieser Begriffsbildung jeder lokal integrierbaren Funktion eine Ableitung zugeordnet werden kann.

DefinitionenBearbeiten

DistributionBearbeiten

Eine Distribution ist eine stetige und lineare Abbildung von einem Testfunktionenraum in die reellen oder komplexen Zahlen. Abbildungen, die Funktionen auf Zahlen abbilden, werden traditionell als Funktionale bezeichnet. Unter Verwendung dieses Begriffs sind Distributionen also stetige lineare Funktionale auf dem Raum der Testfunktionen.

Die Menge der Distributionen ist mit den entsprechenden Verknüpfungen der Addition und der Skalarmultiplikation also der topologische Dualraum zum Testfunktionenraum und wird daher als   notiert. Das Zeichen   bezeichnet in der Funktionalanalysis den topologischen Dualraum. Um überhaupt von Stetigkeit und topologischem Dualraum sprechen zu können, muss der Raum der Testfunktionen mit einer lokalkonvexen Topologie ausgestattet sein.

Oft verwendet man daher die folgende Charakterisierung als alternative Definition, da diese ohne die Topologie des Testfunktionenraums auskommt und kein Wissen über lokalkonvexe Räume erforderlich ist:

Sei   eine offene Menge. Ein lineares Funktional   heißt Distribution, wenn für jedes Kompaktum   ein   und ein   existieren, sodass für alle Testfunktionen   die Ungleichung

 

gilt. Diese Definition ist äquivalent zu der zuvor gegebenen, denn die Stetigkeit des Funktionals   folgt aus dieser Ungleichung, obwohl sie nicht für ganz   gelten muss, weil   als (LF)-Raum bornologisch ist.

Ordnung einer DistributionBearbeiten

Kann in der obigen alternativen Definition für alle Kompakta   dieselbe Zahl   gewählt werden, so wird das kleinstmögliche   als Ordnung von   bezeichnet. Die Menge der Distributionen der Ordnung   wird mit   bezeichnet und mit   notiert man die Menge aller Distributionen mit endlicher Ordnung. Dieser Raum ist kleiner als der allgemeine Distributionenraum  , denn es gibt auch Distributionen, die nicht von endlicher Ordnung sind.

Reguläre DistributionBearbeiten

Eine besondere Teilmenge der Distributionen sind die regulären Distributionen. Diese Distributionen werden durch eine lokal integrierbare Funktion   erzeugt. Präzise bedeutet dies, dass eine Distribution   regulär genannt wird, wenn es eine Darstellung

 

gibt, bei der   eine lokal integrierbare Funktion ist. Nichtreguläre Distributionen werden auch singulär genannt; das sind Distributionen, für die es keine erzeugende Funktion   im Sinn dieser Definition gibt.

Diese Integraldarstellung einer regulären Distribution motiviert zusammen mit dem Skalarprodukt im   die alternative Schreibweise

 

für alle (nicht nur reguläre) Distributionen.

TestfunktionenBearbeiten

In der Definition der Distribution ist der Begriff der Testfunktion beziehungsweise der des Testfunktionenraums zentral. Dieser Testfunktionenraum ist der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger zusammen mit einer induzierten Topologie. Eine Topologie auf dem Testfunktionenraum zu wählen ist sehr wichtig, weil sonst der Begriff der Stetigkeit nicht sinnvoll definiert werden kann. Die Topologie wird auf dem Raum durch einen Konvergenzbegriff festgelegt.

Sei   eine offene Teilmenge, dann bezeichnet

 

die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen kompakten Träger haben, also außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind. Der Konvergenzbegriff wird festgelegt, indem man definiert: Eine Folge   mit   konvergiert gegen  , wenn es ein Kompaktum   gibt mit   für alle   und

 

für alle Multiindizes  . Die Menge   ist – ausgestattet mit diesem Konvergenzbegriff – ein lokalkonvexer Raum, den man Raum der Testfunktionen nennt und als   notiert.

Zwei unterschiedliche SichtweisenBearbeiten

Wie weiter oben im Abschnitt zur Definition der Distribution beschrieben, ist eine Distribution ein Funktional, also eine Funktion mit bestimmten Zusatzeigenschaften. Im Abschnitt Geschichte der Distributionentheorie wurde dagegen gesagt, dass die Delta-Distribution keine Funktion sein kann. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, der sich auch in der aktuellen Literatur noch wiederfindet. Dieser Widerspruch entsteht dadurch, dass versucht wird, Distributionen – und auch Funktionale auf  -Räumen – mit reellwertigen Funktionen zu identifizieren.

Insbesondere in der theoretischen Physik versteht man unter einer Distribution ein Objekt, beispielsweise   genannt, mit gewissen sich aus dem Kontext ergebenden Eigenschaften. Die gewünschten Eigenschaften verhindern oft, dass   eine Funktion sein kann, aus diesem Grund spricht man dann von einer verallgemeinerten Funktion. Nachdem nun die Eigenschaften von   festgelegt sind, betrachtet man die Zuordnung

 

die einer Testfunktion   eine reelle Zahl zuordnet. Da   jedoch im Allgemeinen keine Funktion ist, muss für den Ausdruck von Fall zu Fall erst ein Sinn erklärt werden.

Mathematisch gesehen ist eine Distribution eine Funktion mit bestimmten abstrakten Eigenschaften (Linearität und Stetigkeit), die einer Testfunktion eine reelle Zahl zuordnet. Ist das   aus vorigem Absatz eine integrierbare Funktion, so ist der Ausdruck   mathematisch präzise definiert. Jedoch wird hier nicht die Funktion   als Distribution bezeichnet, sondern das Funktional   heißt Distribution.

Auch viele Mathematiklehrbücher unterscheiden nicht zwischen der (distributions-) erzeugenden Funktion   und der eigentlichen Distribution im mathematischen Sinne. In diesem Artikel wird vorwiegend die strengere mathematische Sichtweise verwendet.

BeispieleBearbeiten

Stetige Funktion als ErzeugerBearbeiten

Sei   und  , so ist durch

 

für alle   eine Distribution   definiert.

Delta-DistributionBearbeiten

 
Die Delta-Distribution wird durch die Funktionenfolge   approximiert. Für alle   bleibt der Flächeninhalt unter der Funktion gleich Eins.

Die Delta-Distribution   ist eine singuläre Distribution. Das heißt, sie kann nicht durch eine gewöhnliche Funktion erzeugt werden, obwohl sie oft wie eine solche geschrieben wird. Es gilt:

 

Das heißt, die Delta-Distribution angewendet auf eine Testfunktion   ergibt den Wert der Testfunktion an der Stelle 0. So wie jede andere Distribution kann man auch die Delta-Distribution als Folge von Integraltermen ausdrücken. Die Dirac-Folge

 

hat den Grenzwert (vergleiche z. B. die nebenstehende Animation)

 

was zu dem verschwindenden Integral   führen würde. Denn das Verhalten in nur einem Punkt fällt bei Integralen gewöhnlicher Funktionen nicht ins Gewicht.

Mit dieser Dirac-Folge kann man aber mit anderer Grenzwertbildung, vor dem Integral und nicht dahinter, die Delta-Distribution durch

 

darstellen. Meistens wird allerdings die symbolische, zu mathematisch unpräziser Interpretation verleitende Schreibweise

 

für die Delta-Distribution verwendet, wobei man den Ausdruck   als verallgemeinerte Funktion bezeichnet und oft sogar das Wort verallgemeinert weglässt.

Dirac-KammBearbeiten

 
Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm   mit   ist eine periodische Distribution, die mit der diracschen Delta-Distribution eng verwandt ist. Diese Distribution ist für alle   definiert als

 

Diese Reihe konvergiert, da die Testfunktion   kompakten Träger hat und daher nur endlich viele Summanden ungleich null sind. Eine äquivalente Definition ist

 

wobei das Gleichheitszeichen als Gleichheit zwischen Distributionen zu verstehen ist. Die Reihe auf der rechten Seite konvergiert dann bezüglich der Schwach-*-Topologie. Auf die Konvergenz von Distributionen wird im Abschnitt Konvergenz näher eingegangen. Das in der Definition auftretende   ist eine reelle Zahl, die man als Periode des Dirac-Kamms bezeichnet. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Delta-Distributionen zusammengesetzt, die im Abstand   zueinander stehen. Der Dirac-Kamm hat im Gegensatz zur Delta-Distribution keinen kompakten Träger. Was dies genau bedeutet, wird im Abschnitt Kompakter Träger weiter unten erklärt.

Radon-MaßeBearbeiten

Mit   wird die Menge aller Radon-Maße bezeichnet. Sei   Nun kann man mittels

 

jedem   eine Distribution zuordnen. Auf diese Weise kann man   stetig in   einbetten. Ein Beispiel für ein Radon-Maß ist das Dirac-Maß  . Für alle   ist es definiert durch

 

Identifiziert man das Dirac-Maß mit der erzeugenden Distribution

 

so erhält man die Delta-Distribution, falls   gilt.

Cauchyscher Hauptwert von 1 / xBearbeiten

 
Die Funktion  

Der cauchysche Hauptwert der Funktion   kann ebenfalls als Distribution   aufgefasst werden. Für alle   setzt man

 

Das ist eine singuläre Distribution, da der Integralausdruck im lebesgueschen Sinn nicht definiert ist und nur als cauchyscher Hauptwert existiert. Dabei steht die Abkürzung PV für principal value.

Diese Distribution wird meist zusammen mit der Dispersionsrelation   (Plemelj-Sokhotsky-Formel) benutzt, wobei alle Distributionen, insbesondere   und   wie angegeben durch verallgemeinerte Funktionen ausgedrückt sind und   die imaginäre Einheit bezeichnet. Diese Beziehung verbindet in der linearen Antworttheorie Real- und Imaginärteil einer Antwortfunktion, siehe Kramers-Kronig-Beziehungen. (An dieser Stelle wird angenommen, dass die Testfunktionen   komplex sind, also  , und auch die gerade angesprochenen Antwortfunktionen; aber das Argument   soll nach wie vor reell sein, obwohl natürlich   komplex ist, und nicht reell.)

Oszillierendes IntegralBearbeiten

Für alle Symbole   nennt man

 

ein oszillierendes Integral. Dieser Integraltyp konvergiert je nach Wahl von   nicht im Riemann- oder Lebesguesinn, sondern nur im Sinn von Distributionen.

KonvergenzBearbeiten

Da der Distributionenraum als topologischer Dualraum definiert ist, trägt er ebenfalls eine Topologie. Als Dualraum eines Montelraums, versehen mit der starken Topologie, ist er selber ein Montelraum,[4] daher fällt für Folgen die starke Topologie mit der Schwach-*-Topologie zusammen. Für Folgen entsteht also folgender Konvergenzbegriff: Eine Folge   von Distributionen konvergiert gegen  , wenn für jede Testfunktion   die Gleichung

 

gilt.

Weil jede Testfunktion   mit   identifiziert werden kann, kann   als ein topologischer Teilraum von   aufgefasst werden.

Der Raum   liegt dicht in  . Das bedeutet, dass für jede Distribution   eine Folge von Testfunktionen   in   mit   in   existiert. Man kann also jede Distribution   durch

 

darstellen.

LokalisierungBearbeiten

Einschränkung auf eine TeilmengeBearbeiten

Seien   offene Teilmengen und sei   eine Distribution. Die Einschränkung   von   auf die Teilmenge   ist definiert durch

 

für alle  , wobei   das auf   durch null fortgesetzte   ist.

TrägerBearbeiten

Sei   eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt   zum Träger von   gehört und schreibt  , wenn für jede offene Umgebung   von   eine Funktion   existiert mit  .

Falls   eine reguläre Distribution   mit stetigem   ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion  ).

Kompakter TrägerBearbeiten

Eine Distribution   hat einen kompakten Träger, wenn   ein kompakter Raum ist. Die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger wird mit   bezeichnet. Sie ist ein Untervektorraum von   und der topologische Dualraum zu  , dem Raum der glatten Funktionen  . Auf diesem Raum wird durch die Familie von Halbnormen

 ,

wobei   beliebige Werte aus   annimmt und   alle kompakten Teilmengen des   durchläuft, eine lokalkonvexe Topologie erzeugt.

Singulärer TrägerBearbeiten

Sei   eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt   nicht zum singulären Träger   gehört, wenn es eine offene Umgebung   von   und eine Funktion   gibt mit

 

für alle  .

Anders gesagt:   genau dann, wenn es keine offene Umgebung   von   gibt, sodass die Einschränkung von   auf   gleich einer glatten Funktion ist. Insbesondere ist der singuläre Träger einer singulären Distribution nicht leer.

Operationen auf DistributionenBearbeiten

Da der Distributionenraum mit punktweiser Addition und Multiplikation mit komplexen Zahlen ein Vektorraum über dem Körper   ist, sind die Addition von Distributionen und die Multiplikation einer komplexen Zahl mit einer Distribution schon definiert.

Im Folgenden werden weitere Operationen auf Distributionen wie die Ableitung einer Distribution erklärt. Viele Operationen werden auf Distributionen übertragen, indem die entsprechende Operation auf die Testfunktionen angewendet wird. Ist zum Beispiel   eine lineare Abbildung, die eine  -Testfunktion auf eine  -Funktion abbildet, und existiert außerdem noch eine adjungierte lineare und folgenstetige Abbildung  , sodass für alle Testfunktionen   und   gilt

 ,

dann ist

 

eine wohldefinierte Operation auf Distributionen.

Multiplikation mit einer FunktionBearbeiten

Sei   und  . Dann wird die Distribution   definiert durch

 .

DifferentiationBearbeiten

MotivationBearbeiten

Betrachtet man eine stetig differenzierbare Funktion   und die ihr zugeordnete reguläre Distribution  , so erhält man die Rechenregel

 

Hierbei wurde partielle Integration verwendet, wobei die Randterme wegen der gewählten Eigenschaften der Testfunktion   wegfallen. Dies entspricht der schwachen Ableitung. Die beiden äußeren Terme sind auch für singuläre Distributionen definiert. Man verwendet dies zur Definition der Ableitung einer beliebigen Distribution  .

DefinitionBearbeiten

Sei also   eine Distribution und   ein Multiindex. Dann wird eine Distribution   definiert durch

 .

Im eindimensionalen Fall bedeutet dies gerade

 

BeispielBearbeiten

Die Heaviside-Funktion   ist durch

 

definiert. Sie ist mit Ausnahme der Stelle   überall differenzierbar. Man kann sie als reguläre Distribution betrachten und die Rechnung

 

zeigt, dass ihre Ableitung (als Distribution) die Delta-Distribution ist:

 

Man kann außerdem die Delta-Distribution selbst ableiten:

 

Die Ableitungen der Delta-Distribution sind also bis auf den zusätzlichen Vorzeichenfaktor   gleich den Ableitungen der Testfunktion an der Stelle  

TensorproduktBearbeiten

MotivationBearbeiten

Sei die Menge   als Produktraum   mit   gegeben. Dann kann man auf den Funktionen   und   mittels der Vorschrift

 

ein Tensorprodukt definieren. Analog dazu kann man ein Tensorprodukt zwischen Distributionen definieren. Dazu werden zuerst reguläre Distributionen betrachtet. Seien   und   zwei lokal-integrierbare Funktionen, so folgt aus obiger Definition

 

für alle   Daraus folgt

 

Hieraus leitet man folgende Definition ab:

DefinitionBearbeiten

Seien   und  . Dann ist   eine Distribution aus  , die durch

 

definiert ist.

Glättung einer DistributionBearbeiten

Distributionen können gezielt geglättet bzw. verschmiert bzw. approximiert werden, z. B., indem man die  -Distribution durch die reguläre Distribution einer glatten Approximationsfunktionen ersetzt, wie z. B. die  -Distribution durch die reguläre Distribution

 

der oben definierte Funktion   oder die Heaviside-Distribution durch die reguläre Distribution der Integrale solcher Funktionen. Bei dreidimensionalen Differentialgleichungen kann man so z. B. feststellen, ob die Randbedingungen zu den Differentialgleichungen passen, die für das Innere gelten. Das ist für viele Anwendungen nützlich, zumal die Glättungsfunktionen, bis auf den Limes, nicht eindeutig vorgegeben sind, was zu erhöhter Flexibilität führt. Ebenso kann man auch gezielt Distributionen wie die obige PV-Distribution regularisieren, indem man z. B. die Testfunktionen mit geeigneten Faktoren versieht oder in anderer Weise vorgeht.

Faltung mit einer FunktionBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Distribution und   eine Funktion, dann ist die Faltung von   mit   definiert durch

 .

BeispielBearbeiten

Sei   ein Radon-Maß und sei   die mit dem Radon-Maß identifizierte Distribution. Dann gilt für die Faltung von   mit  

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Falls   eine glatte Funktion ist, so stimmt die Definition mit der Faltung von Funktionen überein.
  • Das Ergebnis der Faltung ist eine glatte Funktion, also gilt
     .
  • Für   und   ist die Faltung assoziativ, das heißt, es gilt
     .
  • Für jeden Multiindex   gilt für die Ableitung der Faltung
     .

Faltung zweier DistributionenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Seien   und   zwei Distributionen, von denen mindestens eine kompakten Träger hat. Dann ist für alle   die Faltung zwischen diesen Distributionen definiert durch

 .

Die Abbildung

 

ist linear, stetig und kommutiert mit Verschiebungen. Daher gibt es eine eindeutige Distribution  , sodass

 

für alle   gilt.

Bemerkung: Die Bedingung, dass eine Distribution kompakten Träger hat, kann noch weiter abgeschwächt werden.

EigenschaftenBearbeiten

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der hier schon erwähnten Definitionen. Wählt man für   eine reguläre Distribution, also eine Funktion, so entspricht dies den hier aufgeführten Definitionen. Es gelten die Eigenschaften:

  • Die Faltung ist kommutativ:
     
  • Für den Träger gilt:
     
  • Für den singulären Träger erhält man:
     

Temperierte DistributionenBearbeiten

Die temperierten Distributionen bilden eine ausgezeichnete Teilmenge der bis hierhin betrachteten Distributionen auf dem Raum  . Auf den temperierten Distributionen ist es möglich, die Fourier- und die Laplace-Transformation zu erklären.

Fourier-TransformationBearbeiten

Um eine Fourier-Transformation   auf Distributionen definieren zu können, muss man die Menge der Distributionen erst einschränken. Nicht jede Funktion ist fouriertransformierbar, analog dazu kann man auch nicht für jede Distribution die Fouriertransformierte erklären. Aus diesem Grund entwickelte Laurent Schwartz den heute nach ihm benannten Schwartz-Raum  , indem er diesen Raum über eine Familie von Halbnormen definierte, die bezüglich der Multiplikation mit der Ortsvariablen   und der Differentiation danach symmetrisch ist. Weil die Fouriertransformation Differentiation nach   und Multiplikation mit   vertauscht, impliziert diese Symmetrie, dass die Fouriertransformierte einer Schwartz-Funktion wieder eine Schwartz-Funktion ist. Auf diesem Raum ist daher die Fourier-Transformation ein Automorphismus, also eine stetige, lineare und bijektive Abbildung auf sich selbst. Der topologische Dualraum  , also der Raum der stetigen, linearen Funktionale von  , heißt Raum der temperierten Distributionen. Die Menge der temperierten Distributionen   ist umfangreicher als die Menge der Distributionen mit kompaktem Träger,  , was daran liegt, dass die Menge der Schwartz-Funktionen eine Teilmenge des Raums der glatten Funktionen ist. Je kleiner ein Funktionenraum ist, desto größer ist nämlich sein Dualraum. Daher ist auch die Menge der temperierten Distributionen im Raum   enthalten. Denn die Menge der glatten Funktionen mit kompaktem Träger ist eine Teilmenge des Schwartz-Raums.

Die Fouriertransformation von   kann für alle   durch

 

definiert werden. Auch auf   ist die Fouriertransformation ein Automorphismus. Die Fouriertransformierte der Delta-Distribution ist eine konstante Distribution,  . Ein anderes Beispiel für eine temperierte Distribution ist der oben schon erwähnte Dirac-Kamm.

FaltungstheoremBearbeiten

Im Zusammenhang mit den obigen Definitionen der Faltung zweier Distributionen und der Fouriertransformation einer Distribution ist das Faltungstheorem interessant, das man wie folgt formulieren kann:

Sei   eine temperierte Distribution und   eine Distribution mit kompaktem Träger, dann gilt   und das Faltungstheorem für Distributionen besagt:

 

Die Multiplikation zweier Distributionen ist im Allgemeinen nicht definiert. In diesem besonderen Fall ist   allerdings sinnvoll, weil   eine glatte Funktion ist.

DifferentialgleichungenBearbeiten

Da jede lokal-integrierbare  -Funktion, insbesondere auch jede  -Funktion eine Distribution erzeugt, kann man diesen Funktionen im schwachen Sinn eine Distribution als Ableitung zuordnen. Lässt man Distributionen als Lösung einer Differentialgleichung zu, so vergrößert sich der Lösungsraum dieser Gleichung. Im Folgenden wird kurz dargelegt, was eine distributionelle Lösung einer Differentialgleichung ist und wie die Fundamentallösung definiert ist.

Lösungen im DistributionensinneBearbeiten

Sei

 

ein Differentialoperator mit glatten Koeffizientenfunktionen  . Eine Distribution   heißt Distributionenlösung von  , falls die von   und   erzeugten Distributionen übereinstimmen. Dies bedeutet

 

für alle  . Falls die Distribution   regulär und sogar  -mal stetig differenzierbar ist, dann ist   eine klassische Lösung der Differentialgleichung.

BeispielBearbeiten

Konstante FunktionenBearbeiten

Alle distributionellen Lösungen der eindimensionalen Differentialgleichung

 

sind die konstanten Funktionen. Das heißt, für alle   wird die Gleichung

 

nur von konstantem   gelöst.

Poisson-GleichungBearbeiten

Ein prominentes Beispiel ist die formale Identität

 

aus der Elektrostatik, wobei mit   der Laplace-Operator bezeichnet wird. Präzise bedeutet das

 

Das heißt

 

ist für alle   eine Lösung der Poisson-Gleichung

 

Man sagt auch, dass   die hier betrachtete Poisson-Gleichung im distributionellen Sinn löst.

FundamentallösungenBearbeiten

Sei   nun ein linearer Differentialoperator. Eine Distribution   heißt Fundamentallösung, falls   die Differentialgleichung

 

im Distributionensinne löst.

Die Menge aller Fundamentallösungen von   ergibt sich durch Addition einer speziellen Fundamentallösung   mit der allgemeinen homogenen Lösung  . Die allgemeine homogene Lösung ist die Menge der Distributionen, für die   gilt. Nach einem Satz von Bernard Malgrange besitzt jeder lineare Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung  .

Mit Hilfe dieser Fundamentallösungen erhält man durch Faltung Lösungen entsprechender inhomogener Differentialgleichungen. Sei   eine glatte Funktion (oder allgemeiner eine Distribution mit kompaktem Träger), dann ergibt sich wegen

 

eine Lösung von   in der Form

 

wobei   genauso wie oben eine Fundamentallösung des Differentialoperators ist.

Harmonische DistributionenBearbeiten

Analog zu den harmonischen Funktionen definiert man auch harmonische Distributionen. So heißt eine Distribution   harmonisch, wenn sie der Laplace-Gleichung

 

im distributionellen Sinne genügt. Da die distributionelle Ableitung allgemeiner ist als das gewöhnliche Differential, könnte man auch mehr Lösungen der Laplace-Gleichung erwarten. Das ist jedoch falsch. Denn man kann beweisen, dass es für jede harmonische Distribution   eine glatte Funktion gibt, die diese Distribution erzeugt. Es gibt also keine singulären Distributionen, die die Gleichung erfüllen, insbesondere ist der singuläre Träger einer harmonischen Distribution leer. Diese Aussage gilt sogar allgemeiner für elliptische partielle Differentialgleichungen. Für Physiker und Ingenieure bedeutet dies, dass sie in der Elektrodynamik, zum Beispiel in der Theorie der maxwellschen Gleichungen, unbedenklich mit Distributionen arbeiten können, auch wenn sie nur an gewöhnlichen Funktionen interessiert sind.

Distributionen als IntegralkerneBearbeiten

Jede Testfunktion   kann man durch

 

mit einem Integraloperator   identifizieren. Diese Identifikation kann auf Distributionen erweitert werden. So gibt es zu jeder Distribution   einen linearen Operator

 

der für alle   und   durch

 

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator   eine eindeutige Distribution   sodass   gilt. Diese Identifikation zwischen Operator   und Distribution   ist die Aussage des Kernsatzes von Schwartz. Die Distribution   trägt auch den Namen Schwartz-Kern in Anlehnung an den Begriff des Integralkerns. Jedoch kann der Operator   nicht immer in Form eines Integralterms dargestellt werden.

Distributionen auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

RücktransportBearbeiten

Man kann Distributionen mit Hilfe von Diffeomorphismen auf reellen Teilmengen hin- und zurücktransportieren. Seien   zwei reelle Teilmengen und   ein Diffeomorphismus, also eine stetig differenzierbare, bijektive Funktion, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig differenzierbar ist. Für   gilt   und für alle Testfunktionen   gilt aufgrund des Transformationssatzes die Gleichung

 

Diese Identität motiviert folgende Definition für die Verkettung einer Distribution mit einem Diffeomorphismus: Sei  , dann ist   für alle   definiert durch

 

Meistens notiert man   als   und   heißt der Rücktransport der Distribution  

DefinitionBearbeiten

Sei   eine glatte Mannigfaltigkeit,   ein System von Karten und  , sodass für alle  

 

in   gilt. Dann nennt man das System   eine Distribution auf  . Diese Distribution   ist eindeutig bestimmt und von der Wahl der Karte unabhängig.

Es gibt noch andere Möglichkeiten, Distributionen auf Mannigfaltigkeiten zu definieren. Die Definition im Zusammenhang mit Dichtebündeln hat den Vorteil, dass dort kein System lokaler Karten gewählt werden muss.

Reguläre Distributionen auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

Bei dieser Definition kann man wieder jeder stetigen Funktion mittels der Integraldarstellung eine Distribution zuordnen. Sei also   eine stetige Funktion auf der Mannigfaltigkeit, dann ist   eine stetige Funktion auf  . Mittels der Integraldarstellung für reguläre Distributionen

 

erhält man ein System   das eine Distribution auf   bildet.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Paul Adrien Maurice Dirac: The principles of quantum mechanics. Clarendon Press, 1947.
  2. Sergei Lwowitsch Sobolew: Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales. Mat. Sb. 1, 1936, S. 39–72.
  3. Laurent Schwartz: Théorie des distributions 1–2. Hermann, 1950–1951.
  4. Laurent Schwartz: Théorie des distributions. 1–2, S. 74, Hermann, 1950–1951.

LiteraturBearbeiten