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Die Poisson-Gleichung, benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker Siméon Denis Poisson, ist eine elliptische partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, die als Teil von Randwertproblemen in weiten Teilen der Physik Anwendung findet.

Mathematische FormulierungBearbeiten

Die Poisson-Gleichung lautet allgemein

 

Dabei bezeichnet

  •   den Laplace-Operator
  •   die gesuchte Lösung
  •   eine Funktion. Ist  , so wird die Gleichung zur Laplace-Gleichung.

Um die Poisson-Gleichung zu lösen, müssen noch weitere Informationen gegeben sein, z. B. in Form einer Dirichlet-Randbedingung:

 

mit   offen und beschränkt.

In diesem Fall konstruiert man eine Lösung mithilfe der Fundamentallösung   der Laplace-Gleichung:

 

Dabei bezeichnet   den Flächeninhalt der Einheitssphäre im  -dimensionalen Euklidischen Raum.

Durch die Faltung   erhält man eine Lösung der Poisson-Gleichung.

Um auch die Randwertbedingung zu erfüllen, kann man die Greensche Funktion verwenden

 

  ist dabei eine Korrekturfunktion, die

 

erfüllt. Sie ist im Allgemeinen von   abhängig und nur für einfache Gebiete leicht zu finden.

Kennt man  , so ist eine Lösung des Randwertproblems von oben gegeben durch

 

wobei   das Oberflächenmaß auf   bezeichne.

Die Lösung kann man auch mithilfe des Perronverfahrens oder eines Variationsansatzes finden.

Anwendungen in der PhysikBearbeiten

Der Poisson-Gleichung   genügen beispielsweise das elektrostatische Potential und das Gravitationspotential, jeweils mit Formelzeichen  . Dabei ist die Funktion   proportional zur elektrischen Ladungsdichte bzw. zur Massendichte  .

Ist   überall bekannt, so ist die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung, die für große Abstände gegen Null geht, das Integral[1]

 .

In Worten: jede Ladung   am Ort   im kleinen Gebiet der Größe   trägt additiv bei zum Potential   am Ort   mit ihrem elektrostatischen oder Gravitationspotential:

 

ElektrostatikBearbeiten

Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist, kann es über den Gradienten   eines Potentials   ausgedrückt werden:

 

Mit Anwendung der Divergenz ergibt sich

 

mit dem Laplace-Operator  .

Gemäß der ersten Maxwellgleichung gilt jedoch auch

 

mit

  • der Ladungsdichte  
  • der Permittivität  .

Damit folgt für die Poisson-Gleichung des elektrischen Feldes

 

Der Spezialfall   für jeden Ort im betrachteten Gebiet wird als Laplace-Gleichung der Elektrostatik bezeichnet.

Elektrodynamik stationärer StrömeBearbeiten

Als Beispiel wird hier der Emitter einer Silizium-Solarzelle betrachtet, der in guter Näherung als rein zweidimensional beschrieben werden kann. Der Emitter befinde sich in der x-y-Ebene, die z-Achse zeige in die Basis hinein. Die laterale Flächenstromdichte   im Emitter hängt von der am Emitter auftretenden z-Komponente der (Volumen-)Stromdichte   der Basis ab, was durch die Kontinuitätsgleichung in der Form

 

beschrieben werden kann (mit dem zweidimensionalen Nabla-Operator  ). Die Flächenstromdichte hängt über das lokale Ohmsche Gesetz mit dem lateralen elektrischen Feld im Emitter zusammen:  ; hier ist   der als homogen angenommene spezifische Flächenwiderstand des Emitters. Schreibt man (wie im Abschnitt zur Elektrostatik diskutiert) das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials,  , so erhält man für die Potentialverteilung im Emitter eine Poisson-Gleichung in der Form

 

GravitationBearbeiten

Ebenso wie das elektrostatische Feld

 ,

ist auch das Gravitationsfeld g ein konservatives Feld:

 .

Dabei ist

  • G die Gravitationskonstante
  •   die Massendichte.


Da nur die Ladungen durch Massen und   durch   ersetzt werden, gilt analog zur ersten Maxwellgleichung

 .

Damit ergibt sich die Poisson-Gleichung der Gravitation zu

 
 .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Nolting: Grundkurs theoretische Physik. [Online-ausg. der] 8. [gedr.]. 3. Elektrodynamik. Springer, Berlin, ISBN 978-3-540-71252-7.