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Elliptische partielle Differentialgleichung

Elliptische partielle Differentialgleichungen sind eine spezielle Klasse partieller Differentialgleichungen (PDG). Sie werden mit Hilfe von elliptischen Differentialoperatoren formuliert. Die Lösungen einer elliptischen partiellen Differentialgleichung haben bestimmte Eigenschaften, welche hier näher erläutert werden. Der Laplace-Operator ist der wohl bekannteste elliptische Differentialoperator, und die Poisson-Gleichung ist die dazugehörige partielle Differentialgleichung.

Physikalische InterpretationBearbeiten

Die elliptische Differentialgleichung ist eine Verallgemeinerung der Laplace-Gleichung und der Poisson-Gleichung. Eine elliptische Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form

 ,

worin die Koeffizientenfunktionen  ,   und   geeigneten Bedingungen genügen müssen.

Solche Differentialgleichungen treten typischerweise im Zusammenhang mit stationären (zeitunabhängigen) Problemen auf. Sie beschreiben oftmals einen Zustand minimaler Energie. Die erwähnten Laplace- und Poisson-Gleichungen beschreiben etwa die Temperaturverteilung in einem Körper oder auch die elektrostatische Ladungsverteilung in einem Körper. Andere elliptische Differentialgleichungen werden zum Beispiel zur Untersuchung der Konzentration von bestimmten chemischen Stoffen verwendet. Die Terme der Ordnung zwei beschreiben dabei die Diffusion. Die Terme erster Ordnung beschreiben den Transport, und der Term der Ordnung null beschreibt die lokale Ab- und Zunahme.

Nicht-lineare elliptische Differentialgleichungen treten außerdem in der Variationsrechnung und der Differentialgeometrie auf.

DefinitionBearbeiten

Elliptischer DifferentialoperatorBearbeiten

Ein Differentialoperator  , notiert in Multiindexschreibweise, der Ordnung   auf einem Gebiet   heißt im Punkt   elliptisch, falls für alle   gilt

 

Man nennt   das Hauptsymbol von  . Ein Differentialoperator heißt elliptisch, falls er für alle   elliptisch ist.

Elliptische DifferentialgleichungBearbeiten

Sei   ein elliptischer Differentialoperator und   eine Funktion, dann heißt die Gleichung

 

elliptische Differentialgleichung und   ist die gesuchte Funktion in dieser Differentialgleichung.

Gleichmäßig elliptischer DifferentialoperatorBearbeiten

Ein Differentialoperator   heißt gleichmäßig elliptisch in  , wenn es ein   gibt, so dass

 

für alle   gilt.

Hypo–elliptischer DifferentialoperatorBearbeiten

Ein Operator   mit konstanten Koeffizienten   heißt hypo-elliptisch, wenn es ein   gibt, so dass für alle   mit   und alle   gilt:

  •   und
  •  .

Allgemeiner heißt ein Differentialoperator   auf einer offenen Menge   mit nicht notwendigerweise konstanten Koeffizienten hypo-elliptisch, falls für jede Menge   offen, beschränkt und jede Distribution   die Implikation

 

gilt. In Worten: Ist das Bild im Distributionensinne des Differentialoperators   unendlich oft differenzierbar, so gilt dies bereits für die Urbilder.

Im Gegensatz zum gleichmäßig elliptischen Differentialoperator ist der hypo-elliptische Differentialoperator eine Verallgemeinerung des elliptischen Differentialoperators. Diese Forderung an den Differentialoperator ist also schwächer. Siehe hierzu die Regularitätstheorie elliptischer Operatoren weiter unten.

NamensherkunftBearbeiten

Das Adjektiv elliptisch in der Bezeichnung elliptische partielle Differentialgleichung stammt aus der Theorie der Kegelschnitte. In dieser Theorie wird im Fall   die Lösungsmenge, der Gleichung

 

Ellipse genannt. Betrachtet man nun die homogene Differentialgleichung

 

zweiter Ordnung in zwei Dimensionen mit konstanten Koeffizienten, so ist diese genau dann gleichmäßig elliptisch, wenn   gilt.

BeispieleBearbeiten

  • Das wohl wichtigste Beispiel eines gleichmäßig elliptischen Differentialoperators ist der Laplace-Operator
 
dessen Hauptsymbol   ist. Funktionen, welche die Laplace-Gleichung   erfüllen, heißen harmonisch und haben einige besondere Eigenschaften, so zum Beispiel, dass sie beliebig oft differenzierbar sind. Man hat nun die Hoffnung, dass sich diese Eigenschaften auf „ähnliche“ Differentialoperatoren übertragen lassen.
 
ist gleichmäßig elliptisch, denn sein Hauptsymbol lautet  .

Theorie elliptischer Differentialgleichungen zweiter OrdnungBearbeiten

Im Folgenden werden die wichtigsten Aussagen für elliptische Differentialoperatoren der Ordnung zwei in   Dimensionen aufgezeigt. Sei deshalb

 

ein elliptischer Differentialoperator der Ordnung zwei. Außerdem sei   eine offene, zusammenhängende, beschränkte Teilmenge mit Lipschitz-regulärem Rand.

ExistenzaussageBearbeiten

Es seien die Koeffizientenfunktionen   allesamt messbare und beschränkte Funktionen. Dann existiert für jedes   eine eindeutige schwache Lösung   des Dirichlet-Randwertproblems

 

falls die zum Differentialoperator   assoziierte Bilinearform   koerziv ist. Hierbei ist   definiert vermöge

 .

Mit dem Lemma von Lax-Milgram folgert man die Existenz und die Eindeutigkeit der Lösung   aus der Bilinearform  . Ist   gleichmäßig elliptisch, so ist die assoziierte Bilinearform   immer koerziv. Verwendet man statt einer Dirichlet-Randbedingung eine Neumann-Randbedingung, so existiert, falls die assoziierte Bilinearform wieder koerziv ist, genau eine Lösung der partiellen Differentialgleichung, was sich fast genauso beweisen lässt.

RegularitätBearbeiten

Seien   für alle  , und sei außerdem   und   eine schwache Lösung der elliptischen Differentialgleichung

 .

Dann gilt  .

MaximumprinzipBearbeiten

Für elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung gilt ein Maximumsprinzip. Sei   in   und sei  .

1. Falls

 

gilt und   ein nichtnegatives Maximum in einem inneren Punkt von   annimmt, dann ist   konstant.

2. Falls

 

gilt und   ein nichtpositives Minimum in einem inneren Punkt von   annimmt, dann ist   konstant.

EigenwertproblemeBearbeiten

Man betrachte das Randwertproblem

 
 

wobei   ein Eigenwert des Differentialoperators   ist. Außerdem sei   symmetrischer Differentialoperator.

1. Dann sind alle Eigenwerte   reell.

2. Außerdem haben alle Eigenwerte dasselbe Vorzeichen und haben nur endliche Vielfachheit.

3. Schlussendlich existiert eine Orthonormalbasis   von   mit   als Eigenfunktion zum Eigenwert  .

Theorie der elliptischen PseudodifferentialoperatorenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein Pseudodifferentialoperator heißt elliptisch, falls sein Symbol   eigentlich getragen und das homogene Hauptsymbol gleichmäßig elliptisch ist - oder äquivalent dazu, falls in einer konischen Umgebung   von   für das echte Symbol die Ungleichung   für eine Konstante   für   und   gilt.[1]

InvertierbarkeitBearbeiten

Sei   ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und  , dann existiert ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator  , so dass

 

gilt. Dabei ist   der Identitätsoperator, und   ist ein Operator, welcher jede Distribution auf eine glatte Funktion abbildet. Diesen Operator   nennt man Parametrix. Der Operator   kann also modulo   invertiert werden. Diese Eigenschaft macht den elliptischen Pseudodifferentialoperator und damit als Spezialfall den elliptischen Differentialoperator zu einem Fredholm-Operator.

Singulärer TrägerBearbeiten

Sei   wieder ein elliptischer Pseudodifferentialoperator und  . Dann gilt für jede Distribution  

 

Der singuläre Träger einer Distribution verändert sich also nicht.

LiteraturBearbeiten

  • Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen, de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, Seite 151–181.
  • Lawrence Craig Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2.
  • Alain Grigis & Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators, Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Alain Grigis, Johannes Sjöstrand - Microlocal Analysis for Differential Operators. Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-44986-3, S. 41.