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Anfangswertproblem

Klasse von Differentialgleichungen

Als Anfangswertproblem (abgekürzt AWP), manchmal auch Anfangswertaufgabe (abgekürzt AWA) oder Cauchy-Problem genannt, bezeichnet man in der Analysis eine wichtige Klasse von Differentialgleichungen. Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung unter zusätzlicher Berücksichtigung eines vorgegebenen Anfangswertes.

In diesem Artikel wird das Anfangswertproblem zunächst für gewöhnliche Differentialgleichungen und später auch für partielle Differentialgleichungen erklärt.

Inhaltsverzeichnis

Gewöhnliche DifferentialgleichungenBearbeiten

Anfangswertproblem 1. OrdnungBearbeiten

Ein Anfangswertproblem erster Ordnung ist ein Gleichungssystem, das aus einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung

 

und einer zusätzlichen Anfangsbedingung

 

besteht, mit

  • dem Anfangswert   und
  • einem Zeitpunkt  .

Eine konkrete Funktion   ist eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn sie beide Gleichungen erfüllt.

Gesucht ist also eine Funktion  , die die Bedingungen der Differentialgleichung und des Anfangswertes erfüllt. Ist die Funktion   stetig, so ist dies nach dem Hauptsatz der Integralrechnung genau dann der Fall, wenn

 

für alle   im Definitionsintervall gilt.[1]

Anfangswertproblem k-ter OrdnungBearbeiten

Gegeben seien   und eine Funktion  . Ihr Definitionsbereich   sei hierbei eine Teilmenge von  , worin   ein Intervall bezeichnet, welches   umfasst. Dann heißt

 

ein Anfangswertproblem  -ter Ordnung. Jedes Anfangswertproblem  -ter Ordnung lässt sich umschreiben in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung.

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten z. B. in den Naturwissenschaften auf, wenn ein mathematisches Modell für natürliche Prozesse gesucht wird.

LösbarkeitBearbeiten

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen für gewöhnliche Differentialgleichungen betreffen, sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die grönwallsche Ungleichung.

BeispielBearbeiten

Das Anfangswertproblem

 

welches zu

 

korrespondiert, hat unendlich viele Lösungen, nämlich neben der trivialen Lösung

 

auch noch für jedes   die Lösungen

 

sowie

 

Damit Anfangswertprobleme eindeutige Lösungen besitzen, sind Zusatzeigenschaften (an  ) nachzuweisen. Dies kann beispielsweise über den Satz von Picard-Lindelöf geschehen, dessen Voraussetzungen in diesem Beispiel jedoch nicht erfüllt werden.

Numerische LösungsmethodenBearbeiten

Zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen werden Einschritt- oder Mehrschrittverfahren eingesetzt. Dabei wird die Differentialgleichung mittels einer Diskretisierung approximiert.

Partielle DifferentialgleichungenBearbeiten

Verallgemeinert man das Cauchy-Problem auf mehrere Veränderliche, etwa   Veränderliche  , so erhält man partielle Differentialgleichungen. Im Folgenden stehe   für einen Multiindex der Länge  . Beachte, dass es genau   Multiindizes mit   gibt. Es sei weiter eine Funktion   in   Variablen gegeben. Beim allgemeinen Cauchy-Problem sucht man nach Funktionen  , die von   Variablen   abhängen und die Gleichung

(1)  

erfüllen. Beachte, dass die Stelligkeit von   gerade so gewählt wurde, dass man   und alle partiellen Ableitungen   einsetzen kann. Darüber hinaus fordert man, dass die gesuchten Funktionen den im Folgenden beschriebenen sogenannten Anfangs- bzw. Randbedingungen genügen. Zu deren Formulierung sei   eine Hyperfläche der Klasse Ck mit Normalenfeld  . Mit   seien die Normalenableitungen bezeichnet. Sind dann   vorgegebene auf   definierte Funktionen, so fordert man beim allgemeinen Cauchy-Problem, dass die Funktionen   zusätzlich die Bedingungen

(2)   auf  

erfüllen. Die Funktionen   heißen die Cauchy-Daten des Problems, jede Funktion  , die beide Bedingungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Durch eine geeignete Koordinatentransformation kann man sich auf den Fall   zurückziehen. Dann spielt die letzte Variable eine Sonderrolle, denn die Anfangsbedingungen sind dort gegeben, wo diese Variable 0 ist. Da diese Variable in vielen Anwendungen als Zeit interpretiert wird, benennt man sie gern in   (lateinisch tempus = Zeit) um, die Anfangsbedingungen beschreiben dann die Verhältnisse zum Zeitpunkt  . Die Variablen sind also  . Da die betrachtete Hyperebene durch die Bedingung   gegeben ist, wird die Normalenableitung einfach zur Ableitung nach  . Schreibt man abkürzend   und  , so lautet das Cauchy-Problem nun

(1')  
(2')  .

Ein typisches Beispiel ist etwa die dreidimensionale Wellengleichung

 
 ,

wobei   eine Konstante,   eine vorgegebene Funktion und   der Laplace-Operator seien.

Ist   eine Lösung, was gleichzeitig ausreichende Differenzierbarkeit implizieren soll, so sind alle Ableitungen   mit   bereits durch die Cauchy-Daten vorgegeben, denn es ist  . Lediglich die Ableitung   ist nicht durch (2') festgelegt, hier kann also nur (1') eine Bedingung stellen. Damit (1') tatsächlich eine nicht-triviale Bedingung und damit das Cauchy-Problem nicht von vornherein schlecht gestellt ist, wird man fordern, dass man die Gleichung (1') nach   auflösen kann. Das Cauchy-Problem hat dann die Form

(1")  
(2")  ,

wobei   eine geeignete Funktion der Stelligkeit   sei. In der zuletzt gegebenen Formulierung haben alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung  , und die  -te Ableitung nach   tritt tatsächlich auf, denn dies ist gerade die linke Seite von (1") und sie kommt nicht auf der rechten Seite von (1") vor. Man nennt   daher auch die Ordnung des Cauchy-Problems. Das obige Beispiel der dreidimensionalen Wellengleichung ist offenbar leicht in diese Form zu bringen,

 
  

es liegt daher ein Cauchy-Problem der Ordnung 2 vor.

Sind alle Cauchy-Daten analytisch, so sichert der Satz von Cauchy-Kowalewskaja eindeutige Lösungen des Cauchy-Problems.

Bestimmung der IntegrationskonstanteBearbeiten

In der Schulmathematik wird die Bestimmung der Integrationskonstante eines unbestimmten Integrals für einen gegebenen Punkt als Anfangswertproblem bezeichnet.[2]

Beispiel

Gesucht ist die Stammfunktion   der gebrochenrationalen Funktion   gegeben durch  , die durch den Punkt  geht.

Zunächst faktorisieren wir den Nenner:  .

Nun können wir substituieren:  .

Als nächstes müssen wir die x-Koordinate des Punktes einsetzen und den Term mit dem y-Wert gleichsetzen

 .

Die gesuchte Stammfunktion lautet demnach:  .

Abstraktes Cauchy-ProblemBearbeiten

Seien   ein Banachraum und   ein linearer oder nichtlinearer Operator. Die Fragestellung, ob bei gegebenem  ,   und   eine differenzierbare Funktion   mit   für alle   existiert, die das Anfangswertproblem

 

erfüllt, bezeichnet man als abstraktes Cauchy-Problem. Zu ihrer Lösbarkeit benötigt man die Theorie der stark stetigen Halbgruppen bzw. der analytischen Halbgruppen. Zu den verschiedenen Anfangsbedingungen und Operatoren gibt es verschiedene Arten des Lösungsbegriffes, im linearen distributionelle Lösungen, im nichtlinearen die integrale Lösung. Mit klassisch differenzierbaren, beziehungsweise fast überall differenzierbaren Lösungen beschäftigt sich die nachgelagerte Regularitätstheorie.

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67642-2.
  • Isao Miyadera, Choong Yun Cho: Nonlinear Semigroups. American Mathemat. Soc., Providence, RI 1992, ISBN 0-8218-4565-9.
  • Amnon Pazy: Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 1983, ISBN 0-387-90845-5.
  • Gerald B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976, ISBN 0-691-08177-8. (insbesondere Kapitel 1.C. für das allgemeine Cauchy-Problem)

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Rannacher, Rolf: Numerik 1. Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Heidelberg 2017, S. 13.
  2. Anton Bigalke, Norbert Köhler: Mathematik. Gymnasiale Oberstufe Berlin Grundkurs ma-2. Cornelsen Verlag/Volk und Wissen Verlag, Berlin 2011, ISBN 978-3-06-040002-7, S. 27.

WeblinksBearbeiten