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Satz von Cauchy-Kowalewskaja

mathematischer Satz

Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja, benannt nach Augustin-Louis Cauchy und Sofja Kowalewskaja, ist ein Satz aus der mathematischen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Er sichert die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen einer solchen Gleichung, genauer des sogenannten Cauchy-Problems, unter geeigneten Analytizitätsvoraussetzungen.

Das Cauchy-ProblemBearbeiten

Zunächst wird eine spezielle Form des Cauchy-Problems betrachtet. Sei dazu   eine Funktion in   Variablen, die wegen der besonderen Rolle der letzten Variable mit   geschrieben werden. Die  -te Ableitung nach   sei mit   bezeichnet, für einen Multiindex   sei   eine Ableitung nach den ersten   Variablen.

Gegeben seien nun eine natürliche Zahl  , Funktionen   für   und eine Funktion   in   Variablen. Das Cauchy-Problem fragt in dieser Situation nach einer Funktion   in den Variablen  , die folgende Bedingungen erfüllt:

(1)  
(2)   für  

in einer Umgebung von 0. Dabei laufen die Variablen von   neben   und   über alle möglichen Multiindizes   der Länge   und natürliche Zahlen   mit  . Die Stelligkeit von   wurde gerade so gewählt, dass dies möglich ist. Die Gleichung (1) ist dann eine Bedingung an die  -te Ableitung von   nach  , die auf der rechten Seite nur von  -Ableitungen kleinerer Ordnung abhängt. Durch (2) sind die  -Ableitungen kleinerer Ordnung für  , die sogenannten Rand- oder Anfangswerte, vorgeschrieben. Man nennt   und die   auch die Daten des Cauchy-Problems,   heißt Ordnung des Problems. Man beachte dazu, dass alle auftretenden Ableitungen eine Ordnung kleiner gleich   haben und auf der linken Seite eine Ableitung der Ordnung   tatsächlich auftritt. Jede Funktion  , die obige Gleichungen erfüllt, heißt eine Lösung des Cauchy-Problems.

Formulierung des SatzesBearbeiten

Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja sagt aus:[1]

Sind   und die Funktionen   in der obigen Formulierung des Cauchy-Problems analytisch, so gibt es in einer Umgebung des Nullpunktes eine eindeutige analytische Lösung des Cauchy-Problems.

Allgemeinere FormulierungBearbeiten

In einer allgemeineren Formulierung betrachtet man Funktionen in   Variablen  , ohne eine dieser Variablen besonders auszuzeichnen. Es ist ein Punkt   aus einer hinreichend glatten Hyperfläche   mit Normalenfeld   vorgegeben. Die Normalenableitung in Richtung   werde mit   bezeichnet.

Nun seien Funktionen   und eine Funktion   mit   Stellen gegeben. Im allgemeinen Cauchy-Problem fragt man nach Funktionen   mit

(1)  
(2)   auf  

in einer Umgebung von  .

In dieser Form handelt es sich im Allgemeinen nicht um ein korrekt gestelltes Problem und man kann keine Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen erwarten, auch dann nicht, wenn  ,   und die   als analytisch vorausgesetzt werden. Man benötigt dazu die zusätzliche Voraussetzung, dass man (1) nach einer höchsten Ableitung auflösen kann. Aber dann kann man die vorliegende Situation durch eine geeignete Koordinatentransformation auf die oben beschriebene speziellere Formulierung des Cauchy-Problems transformieren. Das kann man dann so tun, dass die Analytizität der Funktionen erhalten bleibt, und dass   auf die Hyperfläche   und der Punkt   auf 0 abgebildet werden. Man spricht dann von einem sogenannten nicht-charakteristischen Cauchy-Problem. Die Anfangsdaten müssen auf einer Hyperfläche vorgegeben werden, die keine Charakteristik der partiellen Differentialgleichung ist (oder tangential zu einer Charakteristik ist). Salopp kann man den Satz von Cauchy-Kowalewskaja auch so aussprechen, dass ein nicht-charakteristisches analytisches Cauchy-Problem lokal, das heißt in einer Umgebung von  , eine eindeutige analytische Lösung besitzt.

BemerkungenBearbeiten

Für eine positive Zahl   hat das Cauchy-Problem

(1)  
(2)  

offenbar die Lösung

 ,

wie man leicht nachrechnet. Lässt man nun   gehen, so konvergieren die Cauchy-Daten gleichmäßig gegen 0. Die Lösung hingegen oszilliert immer schneller und konvergiert nicht für  . Dieses auf J. Hadamard zurückgehende Beispiel zeigt, dass die Lösung des Cauchy-Problems nicht stetig von den Daten des Cauchy-Problems abhängt.

Weiter stellt sich die Frage, ob man im Satz von Cauchy-Kowalewskaja die Analytizitätsvoraussetzung zu „beliebig oft differenzierbar“ abschwächen kann. Das 1957 gefundene Beispiel von Lewy ist ein überraschend einfaches Beispiel eines Cauchy-Problems mit beliebig oft differenzierbaren Daten, das keine Lösung besitzt.[2]

LiteraturBearbeiten

  • Sophie von Kowalevsky: Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Reimer, Berlin 1874 (Dissertation von Sofja Wassiljewna Kowalewskaja, Universität Göttingen; erschienen unter der damals in Deutschland üblichen Schreibweise ihres Namens), Digitalisat.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerald B. Folland: Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press, 1976, Satz (1.25)
  2. H. Lewy: An example of a smooth linear partial equation without solution. In: Annals of Mathematics. Band 66 (1957), S. 155–158.