Als Testfunktionen bezeichnet man in der Mathematik gewisse Typen von Funktionen, die in der Distributionentheorie eine wesentliche Rolle spielen. Üblicherweise fasst man Testfunktionen eines bestimmten Typs zu einem Vektorraum zusammen. Die zugehörigen Distributionen sind dann lineare Funktionale auf diesen Vektorräumen. Ihr Name rührt daher, dass man die Distributionen (im Sinne linearer Abbildungen) auf die Testfunktionen anwendet und dadurch testet[1].

Es gibt verschiedene Arten von Testfunktionen. In der mathematischen Literatur werden häufig der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger oder der Schwartz-Raum als Testfunktionenraum bezeichnet.

Testfunktionen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionalanalysis, etwa bei der Einführung des Begriffs der schwachen Ableitung, sowie in der Theorie der Differentialgleichungen. Ihre Ursprünge liegen in der Physik und den Ingenieurwissenschaften (mehr dazu im Artikel Distribution (Mathematik)).

Glatte Funktionen mit kompaktem TrägerBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Eines der häufigsten Beispiele für einen Testfunktionenraum ist die Menge

 
 
Der Graph einer Testfunktion in zwei Variablen
 
Die Funktion φb für b = 1

also der Raum aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen, die einen kompakten Träger haben, das heißt außerhalb einer kompakten Menge gleich null sind.

Um den Raum der Testfunktionen zu erhalten, wird auf diesem Funktionenraum noch eine Topologie definiert. Diese Topologie erhält man aus einem Konvergenzbegriff, der auf diesem Raum definiert wird. Eine Funktionenfolge   mit   konvergiert gegen  , wenn es ein Kompaktum   gibt mit   für alle   und

 

für alle Multiindizes   gilt.

Der Raum  , zusammen mit diesem Konvergenzbegriff, wird in der Literatur häufig mit   notiert.

BeispieleBearbeiten

Ein Beispiel einer Testfunktion mit kompaktem Träger   ist

 

Ein weiteres Beispiel ist die Familie von  -Funktionen mit Träger   ( )

 
 
Plots von  

EigenschaftenBearbeiten

Beliebige Ableitungen von   liegen ebenfalls in  . Das liegt an der Eigenschaft   und an der Tatsache, dass der Träger einer Funktion den Träger ihrer Ableitung enthält.

Sei   eine offene Teilmenge von  .

Schwartz-RaumBearbeiten

Ein weiterer Raum, der häufig als Testfunktionenraum bezeichnet wird, ist der Raum der schnell fallenden Funktionen, auch bekannt als der Raum der schwartzschen Testfunktionen oder Schwartz-Raum. Sein Dualraum heißt Raum der temperierten Distributionen und wird mit   notiert.

Raum der glatten FunktionenBearbeiten

Der Raum der glatten Funktionen auf   zusammen mit ihrer lokalkonvexen Topologie, die durch die Familie von Halbnormen

 

induziert wird, findet auch Anwendung als Testfunktionenraum. Dieser Raum wird mit   notiert. Sein Dualraum   ist der Raum der Distributionen mit kompaktem Träger.[3]

Sobolev-RäumeBearbeiten

Auch der Sobolev-Raum   für eine beliebige reelle Zahl   kann als Testfunktionenraum aufgefasst werden. Dieser Unterraum von   ist ebenfalls ein Hilbertraum. Bezüglich der dualen Paarung   ist allerdings   der entsprechende Distributionenraum.

Der Satz von Riesz-MarkovBearbeiten

Mit Hilfe des Darstellungssatzes von Riesz-Markow lässt sich der Dualraum des Raums der stetigen Funktionen auf einem kompakten Definitionsbereich   schreiben als

 

wobei   der Raum der regulären Borelmaße ist. Die Isomorphie ist dadurch gegeben, dass ein Funktional   stets in der Form

 

geschrieben werden kann. Die Integralschreibweise legt nahe, dass es auch für diese beiden Räume möglich ist, Distributionentheorie zu betreiben.

Allgemeinere TestfunktionenräumeBearbeiten

Prinzipiell lässt sich das Konzept von Testfunktionen und Distributionen auf andere Beispiele übertragen, in denen man einen Funktionenraum und seinen Dualraum zur Verfügung hat. Der Grundgedanke besteht darin, dass man einen Vektorraum   von Funktionen betrachtet. Da man häufig auf Begriffe wie Stetigkeit und Konvergenz zurückgreifen möchte, sollte der Vektorraum ein topologischer Vektorraum oder besser noch ein lokalkonvexer Raum sein. Die Distributionen, die zu dem Raum   gehören sind dann Elemente des topologischen Dualraums  .

Mit Hilfe der dualen Paarung kann man das Anwenden einer Distribution   auf eine Testfunktion   in der Form

 

schreiben. Die Notation erinnert stark an ein Skalarprodukt, und in der Tat denkt man dabei häufig an das  -Skalarprodukt, so dass man (formal) auch

 

schreibt (beachte, dass   keine Funktion ist und das Integral daher nicht immer wohldefiniert ist). Damit diese Interpretation einen Sinn ergibt, verlangt man in aller Regel, dass der Raum   ein stetig eingebetteter Teilraum eines Vektorraums integrierbarer Funktionen ist, z. B.   oder  .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-540-21381-3, S. 426.
  2. Man Wah Wong: An introduction to pseudo-differential operator. World Scientific, River Edge, N.J. 1999, ISBN 978-981-02-3813-1, S. 10–11.
  3. Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256), S. 44–45.