Eine schwache Ableitung ist in der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, eine Erweiterung des Begriffs der gewöhnlichen (klassischen) Ableitung. Er ermöglicht es, Funktionen eine Ableitung zuzuordnen, die nicht (stark bzw. im klassischen Sinne) differenzierbar sind.

Schwache Ableitungen spielen eine große Rolle in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Räume schwach differenzierbarer Funktionen sind die Sobolev-Räume. Ein noch allgemeinerer Begriff der Ableitung ist die Distributionenableitung.

DefinitionBearbeiten

Schwache Ableitung für reelle FunktionenBearbeiten

Betrachtet man eine auf einem offenen Intervall   (klassisch) differenzierbare Funktion  , deren Ableitung   eine  -Funktion (lokal in   integrierbar) ist, und eine Testfunktion   (das heißt,   ist beliebig oft differenzierbar und besitzt einen kompakten Träger), dann gilt

 .

Hierbei wurde die partielle Integration verwendet, wobei die Randterme auf Grund der Eigenschaften der Testfunktionen wegfallen   . Lässt man die Forderung an die Integrabilität der Ableitung weg, ist das Integral auf der linken Seite der obigen Gleichung im Allgemeinen nicht wohldefiniert.

Ist   selbst eine  -Funktion, dann kann, auch wenn   nicht differenzierbar ist (genauer: keinen differenzierbaren Vertreter in der Äquivalenzklasse besitzt), eine Funktion   existieren, die die Gleichung

 

für jede Testfunktion   erfüllt. Eine solche Funktion   heißt schwache Ableitung von  . Man schreibt wie bei der klassischen Ableitung  .

Höhere schwache AbleitungenBearbeiten

Sinngemäß zum oben beschriebenen Fall können schwache Ableitungen auch für Funktionen auf höherdimensionalen Räumen definiert werden. Entsprechend kann man auch die höheren schwachen Ableitungen definieren.

Es seien  ,   eine lokal integrierbare Funktion, das heißt,  , und   ein Multiindex.

Eine Funktion   heißt  -te schwache Ableitung von  , falls für alle Testfunktionen   gilt:

 .

Hierbei ist   und  . Häufig schreibt man  .

Man kann statt   offenbar auch nur   für   fordern. Die Teilmenge der Funktionen aus  , in der   schwache Ableitungen existieren, ist ein sogenannter Sobolev-Raum.

Liegt eine Funktion   vor, so fordert man die schwache Differenzierbarkeit in jeder der   Bildkomponenten.

ErweiterungenBearbeiten

Die Definition der schwachen Ableitung lässt sich auf unbeschränkte Mengen   also ganz   oder  , Räume periodischer Funktionen oder Räume auf der Kugel oder höherdimensionalen Sphären erweitern.

In einer weiteren Verallgemeinerung lassen sich auch Ableitungen gebrochener Ordnung gewinnen.

EigenschaftenBearbeiten

EindeutigkeitBearbeiten

Die schwache Ableitung ist, wenn sie existiert, eindeutig: Gäbe es zwei schwache Ableitungen   und  , dann müsste nach der Definition

 

für alle Testfunktionen   gelten, was aber nach dem Lemma von Du Bois-Reymond   bedeutet (im  -Sinne, d. h. fast überall), da die Testfunktionen dicht in   liegen (für  ).

Beziehung zur klassischen (starken) AbleitungBearbeiten

Bei jeder klassisch differenzierbaren Funktion  , deren Ableitung   eine  -Funktion ist, existiert die schwache Ableitung und stimmt mit der klassischen Ableitung überein, so dass man von einer Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs sprechen kann. Im Gegensatz zur klassischen Ableitung ist die schwache Ableitung aber nicht punktweise, sondern nur für die ganze Funktion definiert. Punktweise muss eine schwache Ableitung nicht einmal existieren. Gleichheit ist daher im  -Sinne zu verstehen, d. h. fast überall.

Es lässt sich zeigen, dass hinreichend oft vorhandene schwache Differenzierbarkeit auch wieder Differenzierbarkeit im klassischen Sinne nach sich zieht. Dies ist gerade die Aussage des Einbettungssatz von Sobolew: Unter gewissen Bedingungen existieren Einbettungen eines Sobolew-Raums mit   schwachen Ableitungen in Räume  -fach differenzierbarer Funktionen   mit  .

ExistenzBearbeiten

BeispieleBearbeiten

 
Schwache Ableitung Absolutbetrag
  • Die Betragsfunktion   (vgl. Beispiel nicht differenzierbare Funktion) ist in jedem Punkt außer   klassisch differenzierbar und besitzt daher in dem Intervall   für   keine klassische Ableitung. Allerdings gilt für   mit
 
und einer beliebigen Testfunktion   gerade
 
Somit ist   eine schwache Ableitung von  .
Da   eine Nullmenge ist und daher bei der Integration unbedeutend ist, kann man den Wert an der Stelle 0 beliebig setzen. Die oben gewählte Ableitung ist die Signumfunktion. Die Signumfunktion selbst ist nicht mehr schwach differenzierbar, aber man kann sie im Sinne von Distributionen ableiten.
  • Die Funktion
 
ist klassisch differenzierbar auf dem Intervall  , aber nicht schwach differenzierbar. Das Problem ist, dass die Ableitung
 
auf jeder beliebigen   enthaltenden, kompakten Teilmenge von   nicht Lebesgue-integrierbar ist. Damit ist insbesondere das Integral   nicht für alle Testfunktionen   wohldefiniert.

LiteraturBearbeiten