Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein mathematisches Objekt aus der Distributionentheorie. Sie sind Lösungen einer bestimmten Klasse von inhomogenen partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe und dem Faltungstheorem können spezielle Lösungen ähnlicher Differentialgleichungen berechnet werden. Nach dem Satz von Malgrange-Ehrenpreis existiert zu jedem linearen partiellen Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung.

Der Erstbeschreiber der Distributionentheorie Laurent Schwartz definierte auch als erster den Begriff der Fundamentallösung. Sie kann als Weiterentwicklung des älteren Begriffs der Greenschen Funktion verstanden werden. Diese Funktionen sind im allgemeineren Sinne besondere Lösungen von Randwertproblemen, die ebenfalls mit Hilfe der Faltung in spezielle Lösungen entsprechender inhomogener Randwertprobleme transformiert werden können.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein linearer Differentialoperator mit konstanten komplexen Koeffizienten. Dann heißt die Distribution   Fundamentallösung von  , falls sie eine distributionelle Lösung der Gleichung

 

ist, wobei mit   die Dirac'sche Delta-Distribution gemeint ist.

Lösen von inhomogenen DifferentialgleichungenBearbeiten

Falls für einen linearen Differentialoperator   eine Fundamentallösung   bekannt ist, so erhält man eine Lösung   der Gleichung

 

für alle   durch Faltung der Fundamentallösung   mit der rechten Seite  

 .

Methode zur Bestimmung der FundamentallösungBearbeiten

Um mithilfe der Fundamentallösung eine inhomogene Lösung eines Anfangswert- oder Randwertproblems zu bestimmen, muss die Fundamentallösung selbst bestimmt werden. Dies kann, falls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat, mit Hilfe der Fourier-Transformation

 

beziehungsweise ihrer Rücktransformation erreicht werden. Es gilt nämlich

 

wobei   das Symbol von   ist. Zusammen mit der Transferfunktion   gilt

 ,

fast überall. Da zudem noch   gilt, folgt

 

beziehungsweise

 .

Tabelle von FundamentallösungenBearbeiten

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Fundamentallösungen von häufig auftretenden Differentialoperatoren, wobei   den Flächeninhalt der Oberfläche der  -dimensionalen Einheitskugel und   die Heaviside'sche Sprungfunktion bezeichnen.[1]

Differentialoperator Fundamentallösung Anwendungsfall
  (Zeitableitung)   (vgl. Delta-Distribution#Ableitung der Heaviside-Distribution)
     konventionelle Langevin-Gleichung
   
    mit   eindimensionaler gedämpfter harmonischer Oszillator
  (Laplace-Operator)

 

Poisson-Gleichung
  (Helmholtz-Operator)   stationäre Schrödinger-Gleichung ( )
  (D’Alembert-Operator)   Wellengleichung ( )
  (Wärmeleitungsoperator)   Wärmeleitungsgleichung
  (Cauchy-Riemann-Operator)   (als Distribution) Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

TheorieBearbeiten

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung.

Allgemein gilt der Satz von Malgrange-Ehrenpreis, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. einige Beispiele aus Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6