Wärmeleitungsgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung oder Diffusionsgleichung ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung der Wärmeleitung. Sie ist das typische Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung, beschreibt den Zusammenhang zwischen der zeitlichen und der räumlichen Änderung der Temperatur an einem Ort in einem Körper und eignet sich zur Berechnung instationärer Temperaturfelder. Im eindimensionalen Fall (ohne Wärmequellen) besagt sie, dass die (zeitliche) Ableitung der Temperatur das Produkt aus der zweiten räumlichen Ableitung und der Temperaturleitfähigkeit ist. Dies hat eine anschauliche Bedeutung: Wenn die zweite räumliche Ableitung an einem Ort ungleich null ist, so unterscheiden sich die ersten Ableitungen kurz vor und hinter diesem Ort. Der Wärmestrom, der zu diesem Ort fließt, unterscheidet sich also nach dem Fourierschen Gesetz von dem, der von ihm weg fließt. Es muss sich also die Temperatur an diesem Ort mit der Zeit ändern. Mathematisch sind Wärmeleitungsgleichung und Diffusionsgleichung identisch, statt Temperatur und Temperaturleitfähigkeit treten hier Konzentration und Diffusionskoeffizient auf. Die Wärmeleitungsgleichung lässt sich aus dem Energieerhaltungssatz und dem Fourierschen Gesetz der Wärmeleitung herleiten. Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung wird Wärmeleitungskern genannt.

Modell eines Heizrohres, das über eine Metallverstrebung abgekühlt wird, bei verschiedenen Zeitpunkten

FormulierungBearbeiten

Homogene GleichungBearbeiten

In homogenen Medien lautet die Wärmeleitungsgleichung

 

wobei   die Temperatur an der Stelle   zum Zeitpunkt  ,   der Laplace-Operator bezüglich   und die Konstante   die Temperaturleitfähigkeit des Mediums ist.

Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung   null ist, geht die Gleichung in die Laplace-Gleichung   über.

Eine häufig verwendete Vereinfachung berücksichtigt nur eine Raumdimension und beschreibt zum Beispiel die zeitliche Änderung der Temperatur in einem dünnen, relativ dazu langen Stab aus festem Material. Dadurch wird der Laplace-Operator zu einer einfachen zweiten Ableitung:

 

Nichthomogene GleichungBearbeiten

In Medien mit zusätzlichen Wärmequellen (z. B. durch Joulesche Wärme oder eine chemische Reaktion) lautet die dann inhomogene Wärmeleitungsgleichung

 

wobei die rechte Seite   der Quotient aus volumenbezogener Wärmequelldichte (der pro Volumen und Zeit produzierten Wärmemenge) und der volumenbezogenen Wärmekapazität (dem Produkt aus Dichte und massebezogener Wärmekapazität) ist. Im stationären Fall, wenn also die Zeitableitung null ist, geht die Gleichung in die Poisson-Gleichung über.

HerleitungBearbeiten

Es wird die Wärmebilanz an einem kleinen Volumenelement (Volumen  ) betrachtet. In einem abgeschlossenen System, welches keine Volumenarbeit leistet, ist die im System vorhandene Energie gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhalten und es gilt  . Die Kontinuitätsgleichung für die innere Energie kann somit geschrieben werden als:

 ,

wobei   die Änderung der Wärmedichte bezeichnet und   mit der Wärmeleitfähigkeit   die Wärmestromdichte ist.

Mit dem Zusammenhang zur Wärmekapazität   beziehungsweise der spezifischen Wärmekapazität   über

 

mit der Masse   und entsprechend bei der volumenbezogenen Größe

 

mit der Dichte   ergibt sich unter der Annahme, dass es keinen Massentransport oder Wärmestrahlungsverluste gibt, sowie der Homogenität des Materials:

 .

Mit der Temperaturleitfähigkeit   folgt obige Gleichung

 .

Klassische LösungenBearbeiten

FundamentallösungBearbeiten

Eine spezielle Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist die sogenannte Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Diese lautet bei einem eindimensionalen Problem

 

und bei einem  -dimensionalen Problem

 

wobei   das Quadrat der euklidischen Norm von   ist.

  wird auch als Wärmeleitungskern (oder engl. heat kernel) bezeichnet. Die funktionale Form entspricht der einer Gauß'schen Normalverteilung mit  .

Lösungsformel für das homogene CauchyproblemBearbeiten

Mit Hilfe der oben angegebenen Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung kann man für das homogene Cauchyproblem der Wärmeleitungsgleichung eine allgemeine Lösungsformel angeben. Dazu stellt man für gegebene Anfangsdaten   zur Zeit   zusätzlich die Anfangsbedingung

 

in Form einer Delta-Distribution dar. Die Lösung   des homogenen Anfangswertproblem erhält man für   durch die Faltung der Fundamentallösung   mit den gegebenen Anfangsdaten  :

 

Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit Null-AnfangsdatenBearbeiten

Für das inhomogene Anfangswertproblem mit Null-Anfangsdaten   erhalten wir analog zum homogenen Fall durch die Faltung der Fundamentallösung   mit der gegebenen rechten Seite   der Differentialgleichung als Lösungsformel:

 

Allgemeine LösungsformelBearbeiten

Die Lösungsformel für das inhomogene Cauchyproblem mit beliebigen Anfangsdaten erhält man aufgrund der Linearität der Wärmeleitungsgleichung durch Addition der Lösung des homogenen Cauchyproblems mit der Lösung des inhomogenen Cauchyproblems mit Null-Anfangsdaten, insgesamt also:

 

Weitere LösungenBearbeiten

In manchen Fällen kann man Lösungen der Gleichung mit Hilfe des Symmetrieansatzes finden:

 

Dies führt auf die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für  :

 

Eine weitere eindimensionale Lösung lautet

 

wobei   eine Konstante ist. Mit ihr kann man das Wärmespeicherungsverhalten modellieren, wenn ein Gegenstand (mit einer zeitlich sinusförmigen Temperatur) erhitzt wird.

Eigenschaften klassischer LösungenBearbeiten

MaximumprinzipBearbeiten

 
Lösung einer zwei­dimensio­na­len Wärmeleitungsgleichung

Sei   eine Funktion, die die Temperatur eines Festkörpers in Abhängigkeit vom Ort und der Zeit angibt, also  .   ist zeitabhängig, weil sich die thermische Energie mit der Zeit über das Material ausbreitet. Die physikalische Selbstverständlichkeit, dass Wärme nicht aus dem Nichts entsteht, schlägt sich mathematisch im Maximumprinzip nieder: Der Maximalwert (über Zeit und Raum) der Temperatur wird entweder am Anfang des betrachteten Zeitintervalls oder am Rand des betrachteten Raumbereichs angenommen. Diese Eigenschaft gilt allgemein bei parabolischen partiellen Differentialgleichungen und kann leicht bewiesen werden.

GlättungseigenschaftBearbeiten

Eine weitere interessante Eigenschaft ist, dass selbst wenn   zum Zeitpunkt   eine Unstetigkeitsstelle hat, die Funktion   zu jedem Zeitpunkt   stetig im Raum ist.[1] Wenn also zwei Metallstücke verschiedener Temperatur bei   fest verbunden werden, wird sich (nach dieser Modellierung) an der Verbindungsstelle schlagartig die mittlere Temperatur einstellen und die Temperaturkurve stetig durch beide Werkstücke verlaufen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gerhard Dziuk: Theorie und Numerik partieller Differentialgleichungen. de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, S. 183–253.
  • Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. Reprinted with corrections. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 (Graduate studies in mathematics 19).
  • John Rozier Cannon: The One–Dimensional Heat Equation. Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press, 1984, ISBN 978-0-521-30243-2.

WeblinksBearbeiten

Commons: Wärmeleitungsgleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2, S. 49.