Eine Parametrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Es findet insbesondere Verwendung in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und ist eine Verallgemeinerung der Fundamentallösung eines Differentialoperators mit konstanten Koeffizienten.

DefinitionBearbeiten

Eine Fundamentallösung eines Differentialoperators   mit konstanten Koeffizienten ist eine Distribution  , so dass

 

im (distributionellen Sinn) gilt. Das Symbol   bezeichnet hier die Deltadistribution.

Eine Parametrix des Differentialoperators   mit konstanten Koeffizienten ist eine Distribution  , so dass

 

gilt, wobei   eine glatte Funktion ist.

Insbesondere ist die Fundamentallösung ein Spezialfall der Parametrix. Die Parametrix ist ein nützliches Konzept für die Untersuchung von elliptischen Differentialoperatoren.

PseudodifferentialoperatorenBearbeiten

In der Theorie der (hypo)elliptischen Pseudodifferentialoperatoren, wird der Begriff der Parametrix etwas anders verwendet.

Sei also   ein eigentlich getragener Pseudodifferentialoperator der Ordnung  . Dann heißt ein Pseudodifferentialoperator   der Ordnung   Parametrix zu  , falls

 

gilt. Dabei ist   der identische Operator und   und   sind glättende Pseudodifferentialoperatoren, das heißt, sie haben die Ordnung  .

LiteraturBearbeiten