Wirtinger-Kalkül

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Wilhelm Wirtinger

Bei dem Wirtinger-Kalkül, und seiner Verallgemeinerung durch die Dolbeault-Operatoren, handelt es sich um einen mathematischen Kalkül aus der Funktionentheorie. Der Wirtinger-Kalkül ist nach dem Mathematiker Wilhelm Wirtinger und die Dolbeault-Operatoren sind nach Pierre Dolbeault benannt. Mit Hilfe dieser Objekte kann die Darstellung komplexer Ableitungen übersichtlicher gestaltet werden. Außerdem finden die Dolbeault-Operatoren Anwendung in der Theorie der quasikonformen Abbildungen.

Wirtinger-KalkülBearbeiten

Eine komplexe Zahl   wird durch   in zwei reelle Zahlen zerlegt. Sei   ein Gebiet und   eine (reell) differenzierbare Funktion. Dann existieren die partiellen Ableitungen

 

und

 .

Im nächsten Abschnitt werden nun die Wirtinger-Ableitungen eingeführt, welche ebenfalls partielle Differentialoperatoren sind. Jedoch sind diese einfacher zu berechnen, da die komplexwertige Funktion nicht in Real- und Imaginärteil zerlegt werden muss. Statt der Koordinaten   und   verwendet man   und  .

Motivation und DefinitionBearbeiten

Mit Hilfe der partiellen Ableitungen schreibt sich das (totale) Differential von   als

 .

Aus   und   ergibt sich

  und  .

Für die Differentiale erhält man daraus

  und  .

Einsetzen in das totale Differential und Umsortieren liefert

 .

Um (formal) die Beziehung

 

zu erhalten, setzt man

 

und

 .

Dies sind die Wirtinger-Ableitungen.

Für   schreibt man auch kurz  , für   schreibt man  . Der Operator   heißt Cauchy-Riemann-Operator.

Holomorphe FunktionenBearbeiten

Der Wirtinger-Kalkül findet insbesondere in der Funktionentheorie Anwendung, da für holomorphe Funktionen die Notation sich auf ein Minimum reduziert. Außerdem ist dieser Kalkül sehr stabil, wie Eigenschaften 3 und 4 im nächsten Abschnitt zeigen.

Eine reell differenzierbare Funktion ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn   gilt. In diesem Fall ist   die Ableitung von  . Dies gilt, da die Gleichung   eine sehr kurze Darstellung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist. Aus diesem Grund trägt der Operator   den Namen Cauchy-Riemann-Operator.

Gilt hingegen für eine reell differenzierbare Funktion   die Gleichung   so nennt man diese Funktion antiholomorph und das reelle Differential kann mit Hilfe von Eigenschaft 1 aus   berechnet werden.

EigenschaftenBearbeiten

Beziehung zur partiellen AbleitungBearbeiten

Es gelten die Gleichungen

 

und

 .

LinearitätBearbeiten

Die Operatoren   und   sind  -linear, das heißt für   und reell differenzierbare Funktionen   gilt

 

und

 .

Komplexe KonjugationBearbeiten

Für jede reell differenzierbare Funktion   gilt

 

und

 .

KettenregelBearbeiten

Für die Wirtinger-Ableitungen gilt die Kettenregel

 

und

 .

HauptsymbolBearbeiten

Das Hauptsymbol von   ist   und das Hauptsymbol von   ist  . Beide Differentialoperatoren sind also elliptisch.

Assoziierter Laplace- und Dirac-OperatorBearbeiten

Mit den Wirtinger-Ableitungen kann man den Laplace-Operator durch

 

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass der Operator

 

ein Dirac-Operator ist.

FundamentallösungBearbeiten

Die Fundamentallösung des Cauchy-Riemann-Operators   ist  , das heißt die durch die Funktion   erzeugte Distribution löst die Gleichung  , wobei   die Delta-Distribution ist. Eine Herleitung ist im Artikel Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen zu finden.

Dolbeault-OperatorBearbeiten

Mit Hilfe des Wirtinger-Kalküls kann man auch mehrdimensionale Abbildungen untersuchen. Wie oben werden Elemente von   zerlegt in  . Sei nun   eine offene Teilmenge und   eine (reell) differenzierbare Abbildung. Dazu definiert man die dem Wirtinger-Kalkül ähnlichen partiellen Differentialoperatoren

 

und

 

auf  . Mit Hilfe dieser partiellen Differentialoperatoren kann man den Dolbeault-Operator und den Dolbeault-Quer-Operator durch

 

und

 

definieren. Diese können als mehrdimensionale Wirtinger-Ableitungen verstanden werden und werden deshalb genauso notiert. Außerdem haben die Dolbeault-Operatoren ähnliche Eigenschaften wie die Wirtinger-Ableitungen. Insbesondere gilt auch, dass   genau dann holomorph ist, wenn   gilt und die reelle Ableitung wird durch

 

dargestellt. Im holomorphen Fall gilt  , da ja   gilt.

Dolbeault-Operatoren auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

Der Dolbeault-Operator und der Dolbeault-Quer-Operator lassen sich auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten definieren, jedoch muss dafür erst der Kalkül der komplexen Differentialformen definiert werden. Mit Hilfe des Dolbeault-Quer-Operators kann man analog wie im vorigen Abschnitt holomorphe Differentialformen definieren. Eine der wichtigsten Anwendungen dieser Operatoren ist in der Hodge-Theorie insbesondere in der Dolbeault-Kohomologie, welche das komplexe Analogon zur De-Rham-Kohomologie ist, zu finden.

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten