Laplace-Transformation

Integraltransformation

Die Laplace-Transformation, benannt nach Pierre-Simon Laplace, ist eine einseitige Integraltransformation, die eine gegebene Funktion vom reellen Zeitbereich in eine Funktion im komplexen Spektralbereich (Frequenzbereich; Bildbereich) überführt. Diese Funktion wird Laplace-Transformierte oder Spektralfunktion genannt.

Die Laplace-Transformation hat Gemeinsamkeiten mit der Fourier-Transformation: So gibt es zur Laplace-Transformation ebenfalls eine inverse Transformation, die auch Bromwich-Integral genannt wird.

Die Laplace-Transformation gilt für Signale im kontinuierlichen Zeitbereich. Sie ist verwandt mit einer entsprechenden Transformation für Signale im diskreten Zeitbereich: der Z-Transformation.


Vergleich der Z-Transformation und der Laplace-Transformation

AllgemeinesBearbeiten

Die Laplace-Transformation und deren Inversion sind Verfahren zur Lösung von Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik, welche mathematisch durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. Die Laplace-Transformation gehört zur Klasse der Funktionaltransformationen, spezieller zu den Integraltransformationen, und ist eng verwandt mit der Fourier-Transformation. Die Motivation, die Fourier-Transformation weiter zur Laplace-Transformation zu entwickeln, liegt in der beschränkten Klasse von Funktionen, für welche im Rahmen der Fourier-Transformation das Fourier-Integral existiert.

Um die Konvergenz für einen größeren Umfang von Funktionen bei der Laplace-Transformation zu sichern, erweitert man die Integration des Fourier-Integrals um den Faktor  , der für σ > 0 und   gegen 0 geht und so für hinreichend große t die Konvergenz sicherstellt. Damit geht der Frequenzparameter der Fourier-Transformation   in den komplexen Frequenzparameter   über. (  ist die imaginäre Einheit mit  . In der Elektrotechnik ist   statt   gebräuchlich, da dort   für den elektrischen Wechselstrom steht.) Im Gegensatz zu der zweiseitigen Laplace-Transformation und auch der Fourier-Transformation ist die gewöhnliche, einseitige Laplace-Transformation nur für positive Werte von t ≥ 0 definiert. Diese Einschränkung ist deswegen zulässig, da im Rahmen der Systemtheorie und Anwendung im Bereich der Physik und Technik nur real existierende kausale Systeme eine Rolle spielen. Bei der theoretischen Untersuchung nichtkausaler Systeme ist die zweiseitige Laplace-Transformation nötig.

Die Laplace-Transformation bildet Originalfunktionen einer reellen Veränderlichen auf Bildfunktionen einer komplexen Veränderlichen ab. Bei Existenz der Laplace-Transformation entspricht die Differentiation und Integration im reellen Originalbereich einer einfachen algebraischen Operation im Bildbereich, was die praktische Bedeutung begründet. Bei vielen Anfangs- und Randwertproblemen spielt der Zeitbereich die Rolle des reellen Originalbereiches und der Frequenzbereich oder Spektralbereich diejenige des komplexen Bildbereiches.

Die Untersuchung der Bildfunktion liefert häufig wesentlich bessere physikalische Einblicke in das Verhalten linearer Systeme gegenüber Studien im Zeitbereich. Vor allem das Resonanzverhalten physikalischer Systeme kann im Frequenzbereich einfacher beschrieben werden. Aufgrund der besseren Konvergenz gegenüber der Fourier-Transformation können beispielsweise Übertragungsfunktionen auch dann noch analysiert werden, wenn sich ein lineares System instabil verhält.

Bei zeitdiskreten Systemen wird, um die Periodizität in der s-Ebene zu vermeiden (diese ist bedingt durch die zeitlich diskreten Abtastwerte im Rahmen der diskreten Laplace-Transformation) eine konforme, nichtlineare Abbildung auf die sogenannte z-Ebene durchgeführt, was zu der Z-Transformation führt.

GeschichteBearbeiten

Die ersten Hinweise auf die Idee der Laplace-Transformation finden sich bereits in den Arbeiten des Basler Mathematikers und Physikers Leonhard Euler (1707–1783, Institutiones calculi integralis, vol. 2, 1768). Benannt wird die Laplace-Transformation nach dem französischen Mathematiker und Astronomen Pierre-Simon Laplace (1749–1827), der die Transformation 1782 im Rahmen von Wahrscheinlichkeitsstudien einführte. Tatsächlich war der ungarische Mathematiker József Miksa Petzval (1807–1891) der erste, der sie systematisch untersuchte, wohingegen Laplace sie nur zur Lösung seiner Probleme anwandte.[1] Jedoch fand das Werk von Petzval keine Beachtung, unter anderem, weil ihn einer seiner Studenten zu Unrecht des Plagiats an Laplace bezichtigt hatte.

Ungefähr hundert Jahre später wandte der britische Elektroingenieur und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) die von ihm durch Probieren gefundene Operatorenrechnung zur Lösung von Differentialgleichungen in der theoretischen Elektrotechnik an. Der deutsche Mathematiker Gustav Doetsch (1892–1977) ersetzte diese durch die Laplace-Transformation, erarbeitete deren mathematische Grundlagen und führte die Laplace-Transformation einer breiten Anwendung zur Lösung vieler Problemstellungen der mathematischen Physik und der theoretischen Elektrotechnik zu, welche durch lineare Anfangs- und Randwertprobleme beschrieben werden. Mindestens seit Anfang der 60er-Jahre des 20. Jahrhunderts finden sich Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation in Lehrbüchern und Lehrplänen der theoretischen Elektrotechnik[2] und vor allem in Büchern über gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.

Eine rein algebraische Begründung und Erweiterung der Operatorenrechnung von Heaviside führte der polnische Mathematiker Jan Mikusiński (1913–1987) durch, ohne die Laplace-Transformation zu benutzen. Diese Erweiterung erfasst auch Funktionen, die keine Laplace-Transformierte besitzen, und liefert beispielsweise eine einfache exakte Begründung für die Deltafunktion ohne Heranziehung von Distributionen.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Funktion. Die Laplace-Transformation von   ist durch

 

definiert, insofern das Integral existiert. Es handelt sich um ein (uneigentliches) Parameterintegral mit dem Parameter  . Die Exponentialfunktion   ist der Kern der Laplace-Transformation. Die Funktion   wird Laplace-Transformierte der Funktion   genannt.

ExistenzBearbeiten

Eine Funktion   heißt von exponentieller Ordnung, wenn es Konstanten  ,   mit  ,   und eine Stelle   mit   gibt, so dass

      für      

gilt. Manchmal wird auch die strengere Bedingung   statt   benutzt.

Wenn   von exponentieller Ordnung ist und damit die Größen  ,  ,   aus obiger Gleichung gegeben sind, und wenn zusätzlich

 

gilt, so existiert in der Halbebene   das Laplace-Integral  .

Die Bedingung   ist bereits erfüllt, wenn die Funktion   in   stückweise stetig ist.

Beispiele für Funktionen, deren Laplace-Integral existiert, sind in den Korrespondenztabellen weiter unten aufgelistet.

Die genannten Bedingungen sind nur hinreichend für die Existenz des Laplace-Integrals. Wenn sie nicht erfüllt werden, muss man weitere Untersuchungen anstellen.

Einige Beispiele:

  • Die Funktion   ist zwar von exponentieller Ordnung (man setze  ,  ,  ), aber in   nicht stückweise stetig, auch ist das Integral in (2) für jedes   divergent. Diese Funktion besitzt keine Laplace-Transformierte.
  • Die Funktion   ist nicht von exponentieller Ordnung und besitzt ebenfalls keine Laplace-Transformierte.
  • Die Funktion   ist in   nicht stückweise stetig, aber von exponentieller Ordnung (setze  ,  ,  ), zudem existiert das Integral   (mit dem Wert  ). Das Laplace-Integral existiert und ist gleich  .

Laplace-RücktransformationBearbeiten

Zur Laplace-Transformation gibt es auch eine Rücktransformation, also einen Operator der zu einer gegebenen Spektralfunktion   die entsprechende Zeitfunktion   zuordnet. Dieser Integraloperator wird auch Bromwich-Integral genannt und ist nach dem Mathematiker und Physiker Thomas John I’Anson Bromwich benannt.

AussageBearbeiten

Die Zeitfunktion   kann durch die Umkehrformel[3]

 

aus der Spektralfunktion   bestimmt werden, dabei ist   der größte Realteil einer Singularität von  .

BeispielBearbeiten

Bekannte Rücktransformationen sind in der Literatur in Korrespondenztabellen zusammengefasst. In der Praxis muss daher die Spektralfunktion meist nur auf diese tabellierten Fälle zurückgeführt werden, z. B. durch Partialbruchzerlegung.

Als Beispiel sei die Rücktransformation gebrochen rationaler Funktionen betrachtet: Für die Spektralfunktion

 

lässt sich mit der (tabellierten, hier exemplarisch berechneten) Korrespondenz

 

die Rücktransformierte direkt angeben als

 

Im Fall komplex konjugierter Pole sind Vereinfachungen von   durch Anwendung trigonometrischer Identitäten möglich.

Wichtige AnwendungenBearbeiten

Allgemein bietet sich die Laplace-Transformation zur Lösung von linearen Differentialgleichungen bzw. Differentialgleichungssystemen mit konstanten Koeffizienten an. Der Vorteil ist hierbei die Algebraisierung: Ableitungen im Bildbereich entstehen als Produkt aus Laplace-Transformierter der Originalfunktion und dem Laplace-Faktor  . Diese bewirkt, dass

  • gewöhnliche Differentialgleichungen im Originalbereich auf algebraische Gleichungen im Bildbereich,
  • partielle Differentialgleichungen mit   unabhängigen Variablen im Originalbereich auf partielle (bzw. gewöhnliche) Differentialgleichungen mit   unabhängigen Variablen im Bildbereich,
  • und Integralgleichungen vom Faltungstyp im Originalbereich auf algebraische Gleichungen im Bildbereich

abgebildet werden. Die Lösungen der transformierten Probleme lassen sich im Bildbereich wesentlich einfacher erarbeiten als im Originalbereich. In Sonderfällen können auch lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten so gelöst werden.

Besonders effizient eignet sich die Laplace-Transformation dazu, Anfangswertprobleme zu lösen, da die Anfangswerte in die Bildgleichung eingehen. Man transformiert die Differentialgleichung in den Spektralbereich, löst die so erhaltene algebraische Gleichung und transformiert die Lösung in den Zeitbereich zurück. An dieser Stelle sei noch einmal darauf hingewiesen, dass das gewonnene Ergebnis ausschließlich Aussagen für den Zeitraum ab   liefert, da die Laplace-Transformierte durch die Integration ab   bestimmt wird.

Der Nachteil ist die im Allgemeinen meist komplizierte Rücktransformation.

In Maschinenbau und Elektrotechnik, speziell in der Regelungstechnik spielt die Laplace-Transformation vor allem aufgrund des Faltungssatzes eine große Rolle. Da das Verhalten des Systemausgangs sich im Spektralbereich als Produkt der Eingangsfunktion und einer dem System eigenen, von der jeweiligen Anregung unabhängigen Übertragungsfunktion darstellen lässt, lassen sich viele Systemeigenschaften durch Untersuchung der Übertragungsfunktion bestimmen (die man wiederum durch einfache Verknüpfungen elementarer Übertragungsfunktionen erhält), ohne eine explizite Lösung der System-Differentialgleichung, beispielsweise durch Rücktransformation, zu bestimmen. Elegant möglich ist dadurch beispielsweise die Stabilitätsanalyse linearer zeitinvarianter Systeme und Analyse des Schwingungsverhaltens (Dämpfung), der Schnelligkeit sowohl von Regelstrecken als auch von geschlossenen Regelkreisen. Da die Übertragungsfunktion im Laplace-Bereich für   in eine Übertragungsfunktion im Fourier-Bereich übergeht, lassen sich zu guter Letzt auch graphische Darstellungen des Übertragungsverhaltens, sprich Amplituden- und Phasenfrequenzgänge (Bode-Diagramme) gewinnen.

EigenschaftenBearbeiten

GrenzwertsätzeBearbeiten

 
 

Insbesondere strebt jede Laplace-Transformierte gegen  , wenn   gegen   strebt. Der erste Grenzwertsatz gilt nur, wenn   außer einem einfachen Pol bei   keine weiteren Singularitäten in der Halbebene   besitzt.

EindeutigkeitBearbeiten

Wenn für zwei Zeitfunktionen   und   die Voraussetzungen gelten:

  •   und   sind stückweise stetig
  •   und   sind von exponentieller Ordnung für  
  • die Laplace-Transformierten   und   existieren
  •   im Konvergenzbereich

dann ist   überall dort, wo   und   stetig sind.

Vergleiche: Eindeutigkeitssatz von Lerch

Beziehung zur Fourier-TransformationBearbeiten

Die Laplace-Transformation ist eine ähnliche Integraltransformation wie die Fourier-Transformation. Setzt man   mit reellem  , so entsteht der Sonderfall

 

Diese Integraltransformation wird manchmal auch einseitige Fourier-Transformation genannt.[4]

Analytische EigenschaftenBearbeiten

AnalytizitätBearbeiten

Die Laplace-Transformierte ist infolge der Existenz ihrer Ableitungen nach der komplexen Frequenz   im Bildbereich

 

im Innern der Konvergenzhalbebene beliebig oft komplex differenzierbar, das heißt analytisch (beziehungsweise regulär oder holomorph). Somit kann   mit den Mitteln der Funktionentheorie untersucht werden. Die Funktion   kann in die linke Halbebene analytisch fortsetzbar sein, aber nicht zwingend. Eine solche analytische Fortsetzung lässt sich dann aber nicht mehr als Laplace-Transformierte schreiben.

Konjugierte SymmetrieBearbeiten

Eine weitere wichtige Eigenschaft der Laplace-Transformierten reeller Zeitfunktionen ist die konjugierte Symmetrie im komplexen Bildbereich

 

oder separiert in Real- und Imaginärteil

 
 

wobei der Überstrich die komplex konjugierte Größe kennzeichnet. Aufgrund dieser Eigenschaft genügt es, die Bildfunktion in der oberen Halbebene   zu studieren.

Endliche Laplace-TransformationBearbeiten

Die Laplace-Transformation bildet eine endliche Zeitfunktion

  für  

auf eine ganze Funktion ab. Dies bedeutet, dass die Bildfunktion

 

in der ganzen komplexen Frequenzebene analytisch ist, also keine Singularitäten besitzt.

Physikalische DimensionBearbeiten

Bei Anwendungen der Laplace-Transformation ist auch die Dimension der Laplace-Transformierten

 

von Interesse. Die komplexe Frequenz   besitzt die Dimension  . Der Ausdruck   im Integranden ist somit dimensionslos. Durch die Integration über den Zeitbereich wird die Dimension der Zeitfunktion   mit der Dimension des Zeitdifferentials   multipliziert:

 .

Beispielsweise besitzt die Laplace-Transformierte eines elektrischen Stroms   (gemessen in Ampere)

 

die Dimension einer Ladung As = C, also Coulomb.

KorrespondenztabellenBearbeiten

Allgemeine EigenschaftenBearbeiten

Allgemeine Eigenschaft
bzw. Operation
Originalfunktion
 
Bildfunktion
 
Linearität    
Ähnlichkeitssatz    
Verschiebung im Originalbereich (bei einseitiger Transformation nur   oder      )    
Verschiebung im Bildbereich (Dämpfungssatz)    
Komplexe Konjugation    
Zeitspiegelung (bei einseitiger Transformation nicht anwendbar!)    
Zeitdehnung ( ; bei einseitiger Transformation nur für  )    
Sinus-Multiplikation    
Cosinus-Multiplikation    
   
   
1. Ableitung im Originalbereich    
2. Ableitung im Originalbereich    
  Ableitung im Originalbereich    
1. Ableitung im Bildbereich    
2. Ableitung im Bildbereich    
  Ableitung im Bildbereich    
Integration im Originalbereich  
 
 
 
Integration im Bildbereich    
Faltung im Originalbereich
Multiplikation im Bildbereich
   
Multiplikation im Originalbereich
Faltung im Bildbereich
   
konvergiert für   wobei   größer als der Pol von G mit dem größten Realteil ist.
Periodische Funktion    

KorrespondenztabelleBearbeiten

Für die Originalfunktion gilt  .[5]

Funktionsname Originalfunktion
 
Bildfunktion
 
Konvergenz-
bereich
Diracsche Deltadistribution
Einheitsimpuls
 

 
 

 
 
Heavisidesche Sprungfunktion
Einheitssprung
     
Exponentialfunktion      
Exponentialverteilung      
1-te Potenz      
n-te Potenz      
Potenzreihe      
Gedämpfte Potenzfunktion      
     
     
n-te Wurzel      
Sinus      
Cosinus      
Sinus hyperbolicus      
Cosinus hyperbolicus      
Logarithmus naturalis      
Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0
     
Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung 0
     
Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung n
     
 
Modifizierte Bessel-Funktion
erster Art
der Ordnung n
     
 
Laguerre-Polynome
der Ordnung n
     

BeispielBearbeiten

Im Folgenden ist die Lösung des Anfangswertproblems einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe der Laplace-Transformation dargestellt:

 

mit  . Unter Ausnutzung der Linearität der Laplace-Transformation und des Verhaltens bei Ableitung im Ursprungsbereich (s. Tabelle der allgemeinen Eigenschaften) ist die Transformierte gegeben durch

 

mit  . Die Rücktransformation in den Ursprungsbereich ist in obiger Korrespondenztabelle aufgeführt (s. Exponentialfunktion),

 

Obige Differentialgleichung beschreibt also einfache Wachstums- und Abnahmeprozesse und findet sich demnach in vielen Bereichen, u. a. in Natur-, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften.

Laplace-Transformation für MaßeBearbeiten

Die Laplace-Transformation wird auch in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie als Transformation von Wahrscheinlichkeitsmaßen und von Maßen verwendet. Für ein endliches Maß   auf   wird die Laplace-Transformation dabei definiert als

 ,

wobei   ist.[6] Für ein zufälliges Maß   wird die Laplace-Transformierte definiert als

 

für positive, reellwertige messbare Funktionen  .[7]

LiteraturBearbeiten

  • Lothar Berg: Operatorenrechnung. Band 2: Funktionentheoretische Methoden. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.
  • William E. Boyce, Richard C. DiPrima: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung, Aufgaben, Lösungen. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 1995, ISBN 3-86025-151-1, 6 Die Laplace-Transformation, S. 349–400.
  • Hans Jörg Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik. 2., durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1987, ISBN 3-528-13034-2, S. 774–806.
  • Gustav Doetsch: Einführung und Anwendung der Laplace-Transformation (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften. Mathematische Reihe. Band 24). 3. Auflage. Birkhäuser, Basel u. a. 1976, ISBN 3-7643-0784-6.
  • Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Bearbeitet von Mathias Kluwe. 8., überarbeitete Auflage. Hüthig, Heidelberg 2003, ISBN 3-7785-2911-0.
  • Wolfgang Preuß: Funktionaltransformationen. Fourier-, Laplace- und Z-Transformationen. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München u. a. 2002, ISBN 3-446-22015-1.
  • Murray R. Spiegel: Laplace-Transformationen. Theorie und Anwendung. McGraw-Hill Book Company, 1977, ISBN 0-07-092013-3.
  • Georg Uszczapowski: Die Laplace-Transformation (= Deutsch-Taschenbücher. Band 22). Harri Deutsch, Zürich u. a. 1974, ISBN 3-87144-169-4.
  • Hubert Weber: Laplace-Transformation für Ingenieure der Elektrotechnik (= Teubner-Studienskripten. Band 69). 2., durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-10069-X.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. József Miksa Petzval: Integration der linearen Differentialgleichungen. 2 Bände (1853–1859). Wien.
  2. Gerhard Wunsch: Mathematische Methoden der Elektrotechnik. II. Auflage. Band 2: Lehrbrief. Verlag Technik, Berlin 1967.
    Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967.
  3. Bronstein, et al.: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, S. 775, Kap. 15.2.1.1.
  4. Ernst Schmutzer: Grundlagen der theoretischen Physik: mit einem Grundriß der Mathematik für Physiker. Grundlagen der theoretischen Physik. Band 2, S. 125.
  5. Bronstein, et al.: Taschenbuch der Mathematik. 7. Auflage, Verlag Harri Deutsch, S. 1118, Kap. 21.13.
  6. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 304, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  7. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 553, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.