Zwölfeck

Vieleck definiert durch zwölf Punkte

Das Zwölfeck oder Dodekagon ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit zwölf Ecken und zwölf Seiten.

Ein regelmäßiges Zwölfeck

VariationenBearbeiten

Das Zwölfeck ist darstellbar als:

  • konkaves Zwölfeck, in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist. Ein Zwölfeck kann höchstens sechs solche Winkel haben. Ein konkaves Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • konvexes Zwölfeck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Zwölfeck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
  • Sehnenzwölfeck, in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen (Sehnen) möglicherweise ungleich sind.
  • regelmäßiges Zwölfeck, es ist bestimmt durch zwölf Punkte auf einem Umkreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
  • regelmäßiges überschlagenes Zwölfeck, es ergibt sich, wenn beim Verbinden der zwölf Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleichlang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur einen regelmäßigen Zwölfstrahlstern, auch Dodekagramm genannt.
Die „Sterne“ mit den Symbolen {12/2} und {12/10} sind regelmäßige Sechsecke, {12/3} und {12/9} Quadrate sowie {12/4} und {12/8} gleichseitige Dreiecke.

Regelmäßiges ZwölfeckBearbeiten

Bei einem regelmäßigen Zwölfeck sind alle Seiten gleich lang und alle Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

FormelnBearbeiten

Mathematische Formeln zum regelmäßigen Zwölfeck
Flächeninhalt      
 
   
Länge der Diagonalen  
 
 
 
 
Inkreisradius  
Umkreisradius  
Zentriwinkel  
Innenwinkel  

KonstruktionBearbeiten

Ein regelmäßiges Zwölfeck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar:

   
Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebenem Umkreis
Konstruktion eines regelmäßigen Zwölfecks bei gegebener Seitenlänge, Animation (Die Konstruktion ist sehr ähnlich der vom Achteck bei gegebener Seitenlänge.)

Zerlegung in regelmäßige PolygoneBearbeiten

Das regelmäßige Zwölfeck ist außer dem regelmäßigen Sechseck das einzige regelmäßige Polygon, das sich vollständig in kleinere regelmäßige Polygone zerlegen lässt:

Parkettierungen mit regelmäßigen ZwölfeckenBearbeiten

Mit regelmäßigen Zwölfecken sind eine Vielzahl von Parkettierungen möglich. Die ersten zwei sind archimedische Parkettierungen, die dritte eine demireguläre Parkettierung:

Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele Ecken die regelmäßigen Polygone haben, die jeweils an einem Punkt zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°. Diese Parkettierungen sind periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthält ausschließlich regelmäßige Polygone.

Ein Beispiel für eine kommerziell genutzte Parkettierung ist das Eternity-Puzzle, ein Legespiel, bei dem 209 unregelmäßige Polygonspielsteine zu einem Zwölfeck gelegt werden sollen.

Zwölfeck in der NumismatikBearbeiten

 
Threepence von 1942, Rückseite

Es gibt eine Vielzahl zwölfeckiger Münzen, z. B. das britische Threepence von 1942, die ehemalige 3–Pence–Münze aus Nigeria und die australische 50-cent-Münze, die 50-¢(= Seniti)-Münze von Tonga, sowie spezielle Sammlermünzen wie z. B. die spanische 300–Euro–Münze.

Zwölfeck in der ArchitekturBearbeiten

 
Vera Cruz Kirche in Segovia

Beispiele für zwölfeckige Gebäude sind:

Deutschland:

Weitere:

Zwölfeck in der ChemieBearbeiten

Das Molekülmodell von Cyclododecan ist nur in der Draufsicht zwölfeckig. Aus der dreidimensionalen Gestalt dieses Moleküls ergibt sich, dass die Kohlenstoffatome nicht alle in einer Ebene liegen. Außerdem befindet sich das Molekül bei höherer Temperatur in ständiger Bewegung, nämlich in Pseudorotation, d. h., es existieren eine Vielzahl von Konformationen.

Ein gleichseitiges konkaves Zwölfeck wird vom Phenalen, einem polycyclischen aromatischen Kohlenwasserstoff, gebildet.

WeblinksBearbeiten

Commons: Zwölfecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten